宇宙中的圓周率與圓周率中的宇宙，圓周率——“數字中永遠的神”
最近，閒暇時候會看《疑犯追蹤》（Person of Interest）來減壓。有一集是關於最著名的數學常數——圓周率π， π等於周長與直徑之比，一般近似為3。14159。芬奇先生（主角）擔任代課老師，並在黑板上寫了3。1415926535。然後他問學生，這是什麼意思？
我在心裡回答著這個問題，如果有一個直徑為1的腳踏車輪胎，那麼腳踏車輪胎轉一圈的距離就是π。然而，電影裡卻沒有人回答。然後芬奇先生自己回答了這個問題：
疑犯追蹤，第二季，第11集截圖
圓周率，即圓周長與直徑之比——3。1415926535——僅僅是個開始。它會一直持續下去，不會重複，也就是說在這串小數中包含了其他的數；你的出生日期，你儲物櫃的密碼，你的身份證等等，都在這個小數的某個地方。如果你把這些小數轉換成字母，你會得到每一個曾經存在過的單詞以及每一種可能的組合；你小時候說的第一個音節，你的名字，你的整個人生故事，還有我們說過或做過的每一件事。世界上所有的無限可能都在這個簡單的圓周率裡。現在，你會用這些資訊做什麼？它有什麼好處？那就看你的了！
雖然這不太準確，但我很喜歡。世界上大多數教師都在努力成為像芬奇先生這樣優秀而有趣的老師。他將這一主題擴充套件到課本之外，並使學生保持專注。
這是一些關於圓周率的書：利茲·茲姆斯卡的《奇妙的圓周率》、彼得·貝克曼的《圓周率的歷史》、歐吉妮婭·程的《怎樣做圓周率》。
圓周率是圓周長與直徑之比。
但芬奇先生錯了，因為數學家還沒有證明圓周率具有“正態性”的特徵。換句話說，數學家們不確定π是否包含從0到9的所有有限長的數字排列。
π的小數位是無窮無盡的。
沒有人知道我們會在π數字中找到什麼。例如，當我們檢查π的前10億位數時，我們看到數字7出現了近1億次。這使得π成為一個優秀的隨機數生成器，因為得到數字7的機率應該是10%。然而，在某些點之後，π可能不包含數字7，而是有一個只有兩位數或三位的非重複數字，如010203112233000111222333。
在π的前761位之後，有一個著名的數學巧合，即6個9連續出現，這被稱為費曼點。
但是我們可以肯定的是，π的數字是無限的，而且是隨機的。這種隨機性讓π變得有趣，因為π的值是有上限的，然而，它的十進位制值是無限長的。π是一個常數，因為它是一個圓的周長和直徑的比值，這是一個有限的值。
1768年，約翰·蘭伯特證明了π是一個無理數。22/7是一個常用的近似值，但它並不包含π的所有數字。
蘭伯特的證明中的公式
1882年，費迪南德·林德曼證明了π是一個超越數（超越數是另一篇文章了）。
數學家金田康正（Yasumasa Kanada）發現，π的前一萬億位數在統計學上是隨機的。他的計算花了600多個小時。
π的前一萬億位中每個數字出現的次數
多年之後，2019年，艾瑪遙巖男（Emma Haruka Iwao）用電腦花了121天的時間，計算出了π的前34。1萬億位。超級計算機仍在計算π的值。
回到芬奇先生的話題上，我們發現他並不是完全錯了。我們可以很容易地在π中找到我們的生日。
如果π是一個正規數（是數字顯示出隨機分佈，且每個數字出現機會均等的實數），那麼我們可以說我們的整個命運都被π編碼了。我們將來拍的照片將是在π裡。就連這篇文章也在π裡存在了幾千年。此外，所有生物的DNA都在π中。芬奇先生可能是對的，但我們還不確定。
有一種有趣的方式來顯示π的隨機性。一些藝術家使用顏色進行資料視覺化。馬丁·沙茲溫斯基就是這樣一位藝術家，他在π的隨機性中發現了美和藝術。他取π的數字，並給每個數字不同的顏色。例如，他讓3為橙色，1為紅色，4為黃色等等。然後他做了一張漂亮的海報。如果你仔細看，你看不到任何特定的圖案的顏色。
此外，π還有很多迷人的事實。它也是迄今為止數學史上研究最多的數字。幾個世紀以來，數學家們一直在努力精確地計算π。
圖片來源：今日美國的。
那麼，我們應該停止對π的研究，還是繼續尋找一個更好的近似？假設π等於3。14就足夠了嗎？或者，用40位π來求出銀河系的周長，誤差小於一個質子的大小！前152位數π足以計算出可觀測到的宇宙的周長，但這夠了嗎？
有數百位數學家多年來一直在努力計算出更精確的π。但是為什麼呢？數學家們為什麼要計算這麼多位數的π呢？為什麼π的34。1萬億位還不夠？
每次旋轉都是π的表示式。麗貝卡·陶萊，《數字之美：圓周率/ 3。14》
這是因為π是一個隨機數生成器。然而，真正的原因是，各國可以向其他國家展示他們的科技實力，因為計算萬億位數的圓周率需要一個強大的計算機。因此，要求計算機計算π被稱為“壓力測試”，它可能會導致計算機崩潰。
1962年9月12日，約翰·肯尼迪發表了關於太空計劃的演講。他說：
到目前為止，外層空間還沒有戰爭、偏見和國家衝突。它的危險對我們所有人都是有害的。征服地球值得全人類付出最大的努力，和平合作的機會可能永遠不會再來。但有人問，為什麼是月球？為什麼選擇這個作為我們的目標？他們可能會問為什麼要爬最高的山？我們選擇去月球。我們選擇在這個十年去月球，不是因為它們容易，而是因為它們很難，因為這個目標將有助於組織和衡量我們的最佳精力和技能，因為這是一個我們願意接受的挑戰，一個我們不願推遲的挑戰，一個我們打算贏得的挑戰，還有其他的挑戰。
我們不可避免地與過去聯絡在一起，而π是貫穿整個人類歷史的一條線。這就是為什麼我們可以說，只要有人在，就總會有人想知道接下來會發生什麼。我向你們保證，在世界上的某個地方，有一位數學家或科學家在用π做一些對宇宙很重要的事情，因為π仍然是自然界的神秘常數。
發現π
前面的說法完全正確，因為一直都有人在研究π。數學和文明一樣古老。人類研究π已經將近4000年了。當最後的猛獁象滅絕時，人們正在探索π。據我們所知，古希臘的阿基米德是最早計算π的人之一。但是他是如何估算π的值的呢？
首先，他認為所有的多邊形都是一個圓。根據阿基米德的理論，如果不斷增加一個多邊形的邊數，你就會更接近完美的圓。換句話說，五邊形比正方形更圓，而六邊形比五邊形更圓，以此類推。因此，傳奇數學家阿基米德在兩千多年前就把圓定義為有大量邊的正多邊形。
單位圓內的多邊形
他找到了一種計算圓周長的方法。首先，他畫了一個與一個圓周長相接的正方形，計算出了這個正方形的周長。然後，他又畫了一個邊長與這個圓相接的正方形，求出這個正方形的周長。他的結論是，圓的周長必須在這兩個正方形的周長之間。
然而，當他使用平方時，這兩個值之間的差相當大。所以，他畫了五邊形來計算圓周的上下界。他得到了一個更小的範圍。在那之後，他不斷增加多邊形邊數。每增加一條，計算難度就增加很多。阿基米德得到了一個96條邊的正多邊形。他當時發現π的下限和上限分別是3。1408和3。1429。
阿基米德計算π的方法。阿基米德用一個96邊的多邊形計算π，精度達到了萬分之一。
阿基米德的方法需要改進，因為他的壽命不夠長，無法徒手計算出更精確的π。數學家們需要發現更有效的方法。
但一開始，人們用符號來表示數字。例如，假設你和你的鄰居一起有75匹馬，而你有35匹。你要計算出你的鄰居有多少匹馬。沒有代數，這個計算要花很長時間。但在代數被發現之後，這就很簡單了。在這個例子中，我們可以寫75 = x + 35，其中x是你鄰居的馬的數量。寫出這樣一個方程，用變數代替數字，在古典世界是革命性的。
數學家們對代數的採用激發了一種全新的看待世界的方式。計算π的下一個重大飛躍是微積分的發明。從那以後，數學家們開始研究無窮級數。
無窮級數是一個數列相加直到無窮的表示式，有時這些無窮級數收斂到一個特定的值。
詹姆斯·格雷戈裡（
James Gregory
）找到了下面π的方程。他用於下面的反正切函式，研究一個無窮級數，得到π：
他把x = 1代入反切級數。然而，為了得到π的10位，我們需要寫出大約50億個分數來相加。
格雷戈裡級數是由格雷戈裡和萊布尼茨共同求出的π公式，將x=1代入萊布尼茨級數中得到。
另一位偉大的數學家萊昂哈德·尤拉，他在28歲時發現了一個更有效的π方程，他正式採用希臘字母“π”作為數值的符號。尤拉的π方程計算一個無窮級數的和。巴塞爾問題就是以他的名字命名的。
尤拉還用π寫出了另一個漂亮的方程，尤拉恆等式。
尤拉恆等式涉及數學中五個最常見的常數。
儘管虛數不是實數，π可以使虛數變為實數。如果你用計算器算一下 i^i ，你會得到0。2078795763507619085469。。。 。這個證明完全和π有關。下面，你可以看到為什麼i^i是實數。
多虧了天才數學家拉馬努金對π的痴迷，才有了許多新的π計算公式。當他到達劍橋時，他帶來了一個筆記本，裡面有400頁尋找π的公式。
計算機發明之後，數學家們使用萊布尼茨、尤拉和拉馬努金的無窮級數來計算π的一萬億位小數。
π無處不在
螺旋圖是一種數學模式，不同的旋轉變數產生不同的結果。
π在宇宙中無處不在，在我們的生活中無處不在。它實際上已經融入了我們的宇宙、行星的軌道、電磁波、河流、極光的顏色、DNA的結構、吉薩大金字塔……
π是三角正弦和餘弦函式的一部分。
因為任何涉及到圓、球的東西都是關於π的，所以如果一個科學家想要描述宇宙的結構或者找到行星之間的關係，他就需要使用π。圓在自然界中隨處可見，無論是肥皂泡還是夜空中的月亮。這就解釋了為什麼數學在所有科學領域都是必不可少的。π幫助我們看到隱藏在不同物理過程背後的數學思想。
圓周率和蜿蜒的河流之間的聯絡
圓周率與地球上的河流有著直接的關係。為了弄清楚這一點，我們需要用兩種不同的方法測量河流的長度。
假設我們知道河流的起點和終點。首先，我們需要實際長度來看看這條河有多彎。換句話說，準確的長度就是你從起點游到終點所需要的距離。這整個長度是L。第二，我們需要找到一條直線。換句話說，這一次，我們需要從頭飛到尾。這條直線是小寫的l。現在我們可以用L除以l來寫出彎曲度的公式。彎曲度是一個比率，用來衡量河流的彎曲程度。
這個比率經常收斂到（但很少超過）3。14，大致是pi。
這裡重要的是彎曲度是沒有限制的。這條河有時很彎。然而，漢斯·亨裡克·斯托倫（Hans-Henrik Stølum）證明了世界上河流的平均彎曲度是π。如果找到所有河流的彎曲度並取平均的彎曲度，你會得到π。
關於彎曲度還有一個有趣的事實。河流有時會很彎曲。我們期望有很高的彎曲度。但是突然，這些河流變直了，使得彎曲度為π。因此，由於流體動力學的原因，很難找到一條河流的彎曲度等於7。數學家們發現，最高的彎曲度在3。5左右，最低的彎曲度在2。7左右。
河流在一段時間後會開始變得非常混亂。然後他們突然又恢復正常了。在極彎處，河流經過彎點後截斷，又變直。這種現象被稱為牛軛湖，它控制著河流的曲折。這就保證了一條圍繞π的河流的彎曲度。
太空中的π
在我們的宇宙中有一種固有的數學秩序。例如，要了解我們的太陽系，我們需要π。我們知道行星在它的主星前面移動。光來自主星。為了討論這個光，我們需要知道主星有多大。換句話說，我們需要主恆星的表面積。球體的表面積公式為4πr^2，r為恆星的半徑。行星的大小也有助於科學家猜測它是否適合居住。
地球每繞太陽8圈，金星就繞太陽13圈。
另一個展示π與宇宙關係的例子是靜電力，靜電力是兩個電荷之間的力。電子向各個方向施加力，形成一個球體場。電子也在電場中相互作用。為了找出這種相互作用，我們需要找到球的表面積（π出現的地方）。
π和引力之間也有聯絡。如果你看愛因斯坦的場方程，你可能會注意到π也在那裡。
上面的公式計算了大質量的物體，如恆星和星系，如何透過它們的引力使空間和時間彎曲。愛因斯坦說，就像一個球在床單上一樣，任何形式的動量和能量也可以彎曲它周圍的時空。
因此，π是宇宙和宇宙中所有物體的引力、能量和動量的一部分。如果你取地球引力常數的平方根，幾乎得到π。我不認為這是巧合。
π是光波的一部分。波建立顏色。波產生的聲音。波創造運動。
在自然界中尋找
無窮級數不是找到π的唯一方法。你可以自己做一些很酷很有趣的實驗來估算π。其中一種叫做蒙特卡羅方法。
假設你在1x1網格上實驗。你在0和1之間生成一對來繪製座標平面上的點。你會發現有些點到原點的距離小於1，有些會大於1。在某個點之後，你會看到你得到1 / 4個圓。如果你求出四分之一圓的面積，它幾乎是π/4。
如果你不想程式設計，你可以只用一支筆和一張紙來做。你只需要畫一個半徑為1的圓，然後在圓周圍畫一個正方形。正方形的面積必須是4，因為圓的直徑是2。現在，如果你拿起鉛筆，閉上眼睛，在紙上隨機畫很多次點，最終，你的點落在圓內的百分比將接近π/4。
布馮的針
在沒有網際網路的時候，孩子們常玩在地上拋硬幣看硬幣是否越過一條線的遊戲。一位法國哲學家和數學家，喬治-路易斯·勒克萊爾，決定測定硬幣越過一條線的機率。
他先把一根針扔在一張有橫線的紙上，然後確定針穿過紙上某條線的機率。然後他用很多針做了很多次實驗。他得到了一個顯著的結果。機率與π值直接相關，因為2乘以他投下的針數除以穿過一條線的針數幾乎等於π。
義大利數學家勒克萊爾，馬里奧·拉扎里尼，為了做這個實驗，扔了近4000次針。他精確地得到了π。他算到了π的小數點後六位。
π的腳踏車
2017年，馬汀·庫曼（Martijn Koomen）和塔達斯·馬克西莫娃（Tadas Maksimovas）設計了一款功能齊全的圓周率腳踏車，其形狀是數學符號π。
π日
經過長期對π的研究，人們決定在3月14日舉行一次正式的慶祝活動，慶祝π的誕生。自1988年以來，人們在3月14日慶祝這個神奇的常量。愛因斯坦生於1879年3月14日圓周率日，這是一個有趣的巧合。愛因斯坦還在圓周率日發表了他的廣義相對論。
總而言之，數學是一種銘刻在人類大腦中的語言。肯尼迪知道月球並不是無限遙遠的，他做到了。我相信有一天偉大的數學家會揭示π的所有秘密。
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