傅立葉變換：傅立葉級數到FT變換，離散到連續的演變

什麼是頻譜密度

【通訊技術基礎第6講】

班長說：之前我共寫了2份材料，3個影片，闡述傅立葉級數，希望對你們有幫助。不管是大學、考研、工作，這些都是通訊技術基礎。現在給出之前文章連結：

傅立葉級數：看似不相關的相似 三角函式轉化為復指數形式

傅立葉級數：代數、積分方法求係數，解決問題思路是重點

傅立葉級數讓我們知道了，原來週期性函式是可以透過正弦函式的累加完成的。我們在此之前是不是壓根就沒這樣想過啊？所以說數學家們的世界我們不懂。

白光透過三稜鏡後分解了

看一看三稜鏡的色散現象，我們發現自然界這種分分合合的現象也是普遍存在的。

白色光=紅+橙+黃+綠+青+藍+紫；

到這裡我們自然不經會問，週期現象很常見，那麼如果非週期呢？

不同頻率正弦波函式累加

傅立葉級數的變化

根據傅立葉級數的定義，週期函式

f（t）

可由三角函式的線性組合來表示，其中函式

f（t）

週期為T，角頻率為w，頻率為f，傅立葉級數表示式可以寫成：

非週期訊號可以看成周期為無窮大的週期訊號。我們把非週期訊號的傅立葉分析方法叫做傅立葉變換。

當週期函式的週期T逐漸趨向無窮大之時，由於ω=2π/T，週期訊號的頻譜是離散的，離散間隔為ω。所以當T趨向無窮大之時，ω趨向於0，離散間隔逐漸變為0，頻譜變為連續譜。

週期脈衝訊號的頻譜

傅立葉變換就這樣得到了！

非週期脈衝訊號的頻譜（密度）

但是由於傅立葉係數的公式中都有1/T*（…），當T趨向無窮大之時，係數也趨向0了。所以傅立葉係數也逐漸趨向無窮小，由公式可知，每個F（nω）趨向無窮小。

這樣看來，各個頻率幅值均為0，這樣是不是感覺沒什麼可分析的了？

既然都為0了，我們也可以洗洗睡了。

然而數學告訴我們，無數的無窮小量加起來，未必是無窮小啊。再說了，常識告訴我們，當週期為無窮大時，頻譜不可能平白無故的消失的。況且如果把這些函式看成是熱量、能量，也不會因為我們換個角度看，能量就平白無故的消失。

週期T不斷變大，w逐步變小，引入頻譜密度

所以，數學家們說：“肯定是我們的開啟方式出現問題了，我們表達的方式不對，我們得換一種方式”

既然頻譜幅值都為0，那麼我們就像學機率一樣，我們也搞一個頻譜密度，弄一個密度函式哈！

從上圖中，我們可以看出，當脈衝訊號的週期T不斷變大的時候，頻譜寬度逐步變窄。這個時候我們畫出F（nw）/w的頻譜密度函式。圖中紅色長方形，寬度為w，長度為F（nw）/w，面積為F（nw）。

圖片來源網路。老外很高大上的叫做頻譜解析度的變化

說白了，T趨向無窮大時候，F（nw）趨向0，w趨向0，但F（nw）/w不一定是0哦。

按照這個思路，我們進行一番推導：

傅立葉變換的簡單證明

OK，問題解決了，透過頻譜密度函式，我們得到了非週期訊號的頻譜。

傅立葉變換

如果你很感興趣證明過程，請自己動手，或者私信我溝通交流。這裡給出傅立葉變換公式：

通常，週期訊號叫做功率訊號，非週期訊號叫做能量訊號。能量訊號的頻譜密度透過傅立葉變換求得； 能量訊號的頻譜密度和功率訊號的頻譜主要區別有

連續譜，還是離散譜；

單位是幅度/頻率，還是幅度；

能量訊號的能量有限，並連續的分佈在頻率軸上，每個頻率點上的訊號幅度是無窮小的，只有dw上才有確定的非0振幅； 功率訊號的功率有限，但能量無限，它在無限多的離散頻率點上有確定的非0振幅。

頻譜密度

從我們發現可以用不同頻率的正弦函式疊加，表達週期函式開始，非週期函式的表達方式自然而然就會是我們探索的一個方向。週期函式的頻譜為間隔為w的離散譜，當週期函式的週期T變大時，自然w=2π/T就會不斷的減少，最後形成連續的譜線。這是一個很自然的過程，當然啦，如果你需要嚴格的證明，那麼需要動動腦哦。