分析綜合法
提要
分析法就是執果索因的解題方法，即首先抓住問題的結論，追索結論成立的條件，該條件找到後，在追索該條件成立的另一個條件，這樣一直追索下去，直到最後出現顯然成立的條件；綜合法是一種由因索果的解題方法，從順序上看其與分析法恰好相反，是從已知到未知（即從題設到結論）的推理方。解題時，分析法和綜合法是交替使用的。
知識全解
一．分析法的概念
解數學問題，若從命題的結論出發，根據已知的定義、公理和定理逐步尋找這個結論成立的條件，直至這個結論成立的條件就是已知條件，這種方法叫作分析法。它的思維形式是逆向推理。
對問題的分析過程不能代替解答過程的書寫，通常是“倒退著分析”，書寫解題過程時則需反過來“順著書寫”。
二．綜合法的概念
解數學問題，若從已知條件出發，運用已學過的公理、定義和定理逐步推理，直到推出結論為止，這種方法叫作綜合法。
用綜合法進行推理時，語氣是肯定的，且每一步推理都必須是正確的。書寫時應先寫原因後寫結論，一般都用“因為……，所以……”來表述推理。在敘述過程中，當前面一步陳述的結論，同時是後面一步陳述的條件時，常把後一步推理的條件省略不寫。
三．分析綜合法的概念
對於比較複雜的數學問題，利用分析法和綜合法很難解決問題，常常將分析法和綜合法結合起來使用。一方面從已知條件入手，看能推出什麼結論；另一方面從結論著眼，想需要找到什麼條件，從而找到解題途徑。這種方法稱為分析綜合法。
尋求解題要因題而異，有時用分析法，有時用綜合法；有時用分析法分析思路，用綜合法書寫表達；有時分析法，綜合法同時並用，一邊分析，一邊綜合或交替使用。
四．分析法，綜合法的解題策略
應用分析法證明數學問題，尤其是證明幾何問題時，語言是假定的；若要證明A成立則先證明B成立，若要證明B成立，則先證明C成立……
應用綜臺法時，語氣是肯定的，且每一步的推理都必須是正確的。解題時，分析是為了綜合，綜合又必須根據分析。因而有的題目往往同時應用兩種方法：一邊分析，一邊綜合，有時甚至交替運用。
學法指導
型別1 分析法
如圖所示
在邊長為6的正方形ABCD中，E是邊CD的中點，將△ADE沿AE對摺至△AFE，延長交BC於點G，連線AG。
（1）求證：△ABG≌△AFG；
（2）求BG的長．
【解析】（1）要證△ABG≌△AFG，由正方形的性質可知∠B=∠D=90度，AD=AB。又由摺疊的性質可知AD=AF，∠AFE=∠D =90度，進而∠AFG=∠B，AB=AF，結合公共邊AG=AG，利用“HL”即可證明Rt△ABG≌Rt△AFG
（2） 欲求BG，由（1）可知BG=FG。故可設BG=FG=x，則GC=6-x，由點E為CD中點及摺疊性質，可知CE=EF=DE=3，EG=x+3，則在Rt△CGE中，根據勾股定理可列出關於x的一元一次方程，解之即得答案。
【點評】用分析法解題目的性強，思維過程比較自然，容易找到解題思路。解題時，往往用分析法找解題途徑，用綜合法表達解題過程，書寫時只需將分析思路反敘述即可。
型別2 綜合法
例2 如圖所示
四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，BC的延長線與AD的延長線交於點E，且DC=DE。
（1）求證：∠A=∠AEB
（2）連線OE，交CD於點F，OE⊥CD。求證：△ABE是等邊三角形。
【證明】（1）∵四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，∴∠A+∠BCD=180度
∵∠DCE+∠BCD=180度，∴∠A=∠DCE
∵DC=DE，∴∠DCE=∠AEB
∴∠A=∠AEB
（2）∵∠A=∠AEB，∴△ABE是等腰三角形
∵OE⊥CD，∴CF=DF
∴OE是CD的垂直平分線
∴ED=EC
又∵DC=DE，∴DC=DE=EC
∴△DCE是等邊三角形
∴∠AEB=60度
∴△AEB是等邊三角形
【點評】本題就是利用綜合法證明的，運用綜合法解題的關鍵是由已知條件得出結論成立的條件。要充分挖掘幾何圖形的性質。
型別3 分析綜合法
例3 已知：如圖所示
在矩形ABCD中，E是CD的中點，BE⊥AC交AC於F，過F作FG‖AB於G。求證：
證明：∵四邊形ABCD是矩形
∴AD=BC，∠D=∠BCE=90度
∵DE=CE
∴△ADE≌△BCE ∴AE=BE
∵FG‖AB，
∴AG=BF
∵∠ABC=∠BFC=90度，∴∠ABF=∠BCF
∴△BCF∽△ABF
再按分析法進行分析。因此使用分析綜合法可先從分析法入手，當思路受阻時，再運用綜合法進行推理，再結合分析法分析，兩種方法交替使用。當由已知條件推出的結論與要證的結論所需的條件相吻合時，解題途徑就暢通了。
連結中考
考點1 用分析綜合法計算
例1 我國漢代數學家趙爽為了證明勾股定理，創制了一副“弦圖”，後人稱其為“趙爽弦圖”，下圖由弦圖變化得到，它是由8個全等的直角三角形拼接而成的。記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3。若正方形EFGH的邊長為2，則S1+S2+S3=___
【解析】如圖所示，因為8個直角三角形全等，四邊形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，所以CG=KG，CF=DG=KF。所以
考點2 用分析綜合法進行推理論證
例2 如圖所示，⊙O是△ABC的外接圓，P是⊙O外一點，AM是⊙O的直徑，∠PAC=∠ABC
（1）求證：PA是⊙O的且線
（2）連線PB與AC交於點D，與⊙O交於點E，F為BC上的一點，若M為弧BC的中點，且
∠DCF=∠P，求證：
【解析】如下圖所示
連線CM，根據圓周角定理得出∠PAC=∠ABC，∠M=∠ABC，由∠M+∠MAC=90度，得出∠PAC+∠MAC=90度，即∠MAP=90度，問題得證。
連線AE，如上圖所示。根據垂徑定理知AM⊥BC，進而AP‖BC，所以△ADP∽△CDB，
證明：（1）連線CM
∵∠PAC=∠ABC，∠M=∠ABC
∴∠PAC=∠M
∵AM是直徑
∴∠ACM=90度
∴△ACM中，∠M+∠MAC=90度
∴∠PAC+∠MAC=90度，即∠MAP=90度
∴MA⊥AP
∴PA是⊙O的切線
（2）連線AE
∵M是弧BC中點，AM為⊙O的直徑
∴AM⊥BC
∵AM⊥AP
∴AP‖BC
∴△ADP∽△CDB
∵AP‖BC
∴∠P=∠CBD
∵∠CBD=∠CAE
∴∠P=∠CAE
∵∠P=∠DCF
∴∠DCF=∠CAE
∵∠ADE=∠CDF
∴△ADE∽△CDF
【點評】本題綜合考查了圓周角定理，切線的判定，垂徑定理，三角形相似的判定和性質，新增恰當的輔助線是關鍵。
