當數學和物理聯手，會搞出什麼大事情呢？（上）
實粒率怎麼計算
人們對量子場論的數學內涵的加速理解將對數學和物理都產生深遠的影響。
在過去的一個世紀裡，量子場論（quantum field theory，QFT）被證明是有史以來應用最廣泛也最成功的物理理論。它是一個總體的概念，裡面包含了許多特定的量子場理論，就像“形狀”的概念涵蓋了一些例如正方形和圓形那樣具體的例子。量子場論中最突出的理論被稱為標準模型，正是這種物理框架取得了巨大的成功。
“它可以從根本上合理地解釋我們所做的每一個實驗，”劍橋大學的物理學家湯大衛（David Tong）如是說。
但無可爭辯的是，QFT是不完整的。物理學家和數學家都不知道是什麼使得量子場論成為了量子場論。他們已窺見了全貌，但尚未理清頭緒。
“各種跡象表明，我們有可能找到更好的方式來思考QFT，”來自普林斯頓高等研究院（Institute for Advanced Study，IAS）的物理學家內森·塞伯格（Nathan Seiberg）說道。“這感覺就像盲人摸象一樣。”
數學需要考慮內在的一致性，並且關注每一個細節，它是使QFT完整的語言。如果數學能夠學著像描述成熟的數學物件那樣，用同樣嚴格的方式來描述QFT，那麼更完整的物理世界圖景將很可能出現。
“如果你真的以正確的數學方式理解了量子場論，這將帶給我們許多開放的物理問題的答案，甚至可能包括引力的量子化。”高階研究院主任羅伯特·迪傑格拉夫（Robbert Dijkgraaf）說道。
“在過去的世紀裡，物理學中使用的每一個概念在數學上都有其天然的地位——除了量子場論。”
——內森·塞伯格，高等研究院
這也不是單行道。千年來，物理世界一直是數學最偉大的靈感來源。古希臘人發明了三角法來研究恆星的運動。數學把它變成了一門有定義和規則的學科，現在的學生們學習這些學科時不必參考這個課題的天體起源。又過了2000年後，艾薩克·牛頓想進一步理解開普勒行星運動定律，並試圖找到一種嚴謹的方法來思考無窮小的變化。這種衝動（加上萊布尼茲的啟示）催生了微積分領域，數學對其進行了適當的改進，時至今日微積分已經無處不在。
現在，數學家們想為QFT做同樣的事情——把物理學家們為研究基本粒子而開發的思想、物件和技術納入數學的主體。這意味著我們要定義出QFT的基本特徵，這樣未來的數學家就不必考慮該理論最初產生時的物理環境。
這樣做的回報可能是巨大的：一旦數學發現新的探索物件和用來獲取數字、方程式和形狀之間的一些重要聯絡的新結構，數學就會進步成長。而QFT就提供了這兩者。
“物理學本身作為一種結構而言，是非常深刻的。通常它是一種更好的方式來思考我們已經感興趣的數學問題。這只是一種更好的組織方式。”德克薩斯大學奧斯汀分校的數學家大衛·本-茲維（David Ben-Zvi）說道。
在過去的至少40年以來，QFT一直吸引著數學家去探索其中的內涵。近年來，他們終於開始理解QFT本身的一些基本物件——數學家憑藉自己的努力從粒子物理世界中將其剝離出來，並將它們轉化為數學物件。
不過，這項努力目前還處於初期階段。
來自羅格斯大學的物理學家格雷格·摩爾（Greg Moore）表示：“要等真到了那一步我們才能夠知曉答案，但我當然希望我們目前只是看到冰山一角。如果數學家真的理解了QFT，那將會導致數學領域的巨大進步。”
永恆的場
人們通常認為宇宙是由基本粒子構成的，比如電子、夸克、光子等等這些東西。但是物理學很久以前就超越了這個觀點。物理學家們現在不再談論粒子，取而代之的是所謂的“量子場”，就像現實的經緯線一樣。
這些場橫跨了宇宙的時空。它們有很多種形式，像波動的海洋一樣起伏。在場起伏並相互作用時，粒子從中浮現出來，然後又消失在其中，就像稍縱即逝的波峰。
“粒子不再是永恆不變的東西了”，湯說道，“現在它們只是場的舞步泛起的漣漪。”
想要理解量子場，最簡單的方法是從普通場或說經典場開始。想象一下測量地球表面每一點的溫度。我們將無限多個點組合在一起，在這些點上進行溫度的測量，最終形成一個稱為場的幾何體，它包含了所有這些溫度的資訊。
一般來說，只要你有一些可以在空間中以無限精細的解析度來唯一測量的量，就會出現場的概念。“你可以問關於時空中每個點的獨立問題，比如這裡的電場相對於那邊的電場是多少。” 大衛·蓋奧托（Davide Gaiotto）說道。他是加拿大滑鐵盧圓周理論物理研究所（Perimeter Institute for Theoretical Physics）的物理學家。
當你觀察的是量子現象，比如在時間和空間的每一點的電子能量時，量子場就產生了。但是量子場與經典場又有著根本的不同。
地球上某一點的溫度是確切的，該是多少就是多少。不同的是，不管你是否測量它，電子在你觀察到它的那一刻才有確切的位置。在此之前，它們的位置只能透過機率來描述。透過給量子場中的每一點賦值，來獲取到在那裡找到一個電子相對於其他地方的可能性。在觀察之前，電子基本上無處不在。
“物理學中的大多數東西不僅僅是物體。它們是存在於在時空的每一個點上的東西。” 迪傑格拉夫說。
在量子場論中有一套人們稱為關聯函式（correlation functions）的規則，它解釋了場中某一點的測量與另一點的測量之間的關聯。
每一種量子場論都描述了特定維數的物理。二維量子場論通常用於描述絕緣體等材料的行為；六維量子場論則與弦理論密切相關；四維量子場論描述了我們實際四維宇宙中的物理現象。標準模型就是其中之一，它也可能是唯一最重要的量子場論，因為它最能描述我們的宇宙。
宇宙中有12種已知的基本粒子。每一個都有自己獨特的量子場。對於這12個粒子場，標準模型還加入了四種力場來表示四種基本力：引力、電磁力、強相互作用和弱相互作用。它將這16個場寫入一個可以描述它們如何相互作用方程中。透過這些相互作用，基本粒子被理解為各自量子場的漲落——物理世界於是出現在我們眼前。
標準模型
這聽起來可能很奇怪。但物理學家在20世紀30年代就意識到，基於場而不是粒子的物理學能夠解決一些最緊迫的矛盾——從因果關係問題到粒子不會永遠存在的問題。它還解釋了在物理世界中一些似乎不太可能的一致性問題。
“宇宙中所有相同型別的粒子都是一樣的，”湯說。“如果我們用大型強子對撞機制造出一個新的質子，它和已經運行了100億年的質子完全相同。這應該得到一些解釋。”——是的，QFT提供了它：所有的質子都只是在同一個更深層的質子場中的漲落（或者，如果你可以更仔細地觀察，是深層次的夸克場的漲落）。
但是，QFT的解釋能力是以很高的數學代價來實現的。
“到目前為止，量子場論是數學中最複雜的物件，以至於數學家都不知道如何理解它們。”湯說，“量子場論是尚未被數學家發明的數學。”
太多的無限
是什麼讓數學家感覺如此複雜？兩個字，無限。
當你在一個點上測量一個量子場，得到的結果不是幾個像座標和溫度這樣的數字。相反，它是一個矩陣——這意味著得到的是一組排列好的數字。而且你得到的不是隨隨便便的一個矩陣——它是一個大的矩陣，我們也稱之為算符，它有無限多的列和行。粒子從場中浮現出來包含了許許多多可能性，而這些算符反映了量子場是如何將這些可能性都包括在內的。
“粒子可以有無限多個位置，這就導致了這樣一個事實，即描述位置和動量測量的矩陣也必須是無限維的。”約克大學的卡西亞·雷茲納（Kasia Rejzner）說。
當一個理論涉及到無窮時，關於它們的物理關聯性就會出現一些疑問。因為無限是一個概念，而不是實驗所能測量到的任何東西。這也使得這些理論很難用數學來解釋。
“我們不喜歡有一個能說明無限的框架。這就是為什麼你開始意識到你需要對發生的事情有更好的數學理解。”阿姆斯特丹大學的物理學家亞歷杭德拉·卡斯特羅（Alejandra Castro）說。
位於日內瓦歐洲核子研究中心的大型強子對撞機
當物理學家開始思考兩個量子場如何相互作用時，無限的問題就變得更糟了，例如，科學家在日內瓦郊外的大型強子對撞機對粒子碰撞進行了模擬。在經典力學中，這種計算方法很簡單：要模擬兩個檯球碰撞時發生的情況，只需使用指定碰撞點上每個球的動量。
當兩個量子場相互作用時，你可以做一個類似的事情：在它們相遇的時空點上用一個場的無窮維算符乘以另一個場的無窮維算符。但是這個計算——涉及到兩個無限接近的無限維物體——是困難的。
雷茲納說：“問題就出在這裡。”
了不起的成功
物理學家和數學家不能用無窮來計算，但他們已經開發出瞭解決辦法——用近似的方法來回避這個問題。這些解決辦法產生了近似的預測——而這已經足夠好了，因為實驗也不是無限精確的。
“我們可以做精度到小數點後13位的測量實驗，到這裡和理論符合得很好。這是所有科學中最令人驚訝的事情。”湯說。
一個解決辦法是，首先想象你有一個量子場，在這個量子場中什麼都沒有發生。在這個被稱為“自由”理論——因為它不包含相互作用——的環境中，你不必擔心無限維矩陣的乘法，因為沒有任何物體在運動，也沒有任何物體發生碰撞。這是一個很容易用數學細節來描述的情況，儘管這種描述價值不大。
雷茲納說：“這完全是無聊透頂的，因為你描述了一個沒有任何相互作用的孤立場，所以這有點像是一種學術練習。”
但你可以讓它更有趣。物理學家們加入了一點點相互作用，試圖保持對影象的數學控制，不讓相互作用變得更強。
這種方法被稱為微擾QFT。從某種意義上講，我們允許在自由場中進行小的變化或擾動。你可以把微擾的觀點應用到類似於自由理論的量子場論中。它對驗證實驗也非常有用。“你會得到令人驚訝的精度，還有驚人的實驗一致性，”雷茲納說。
但是，如果你進一步增強相互作用，微擾的方法最終也會適得其反。它沒有產生越來越精確的接近真實物理宇宙的計算，反而變得越來越不精確。這表明，雖然微擾法能夠對實驗提供有效的指導，但最終它並不是試圖描述宇宙的正確方法：它在實際操作上是有用的，但理論上是不穩定的。
蓋奧托說：“我們並不知道如何把所有的東西加起來，並得到一些合理的東西。”
我們一直在使用QFT作為外部激勵，但如果它是內部激勵，那就更好了。
——丹·弗裡德，德克薩斯大學奧斯汀分校
另一個近似方案試圖透過其他方法不斷逼近成熟的量子場論。理論上，量子場包含無限精細的資訊。為了製造出這些場，物理學家從一個網格或晶格開始，並將測量限制在網格線相互交叉的地方。所以，你不能在任何地方測量量子場——在一開始你只能在相隔一定距離的地方測量它。
以此為起點，物理學家提高了格子的解析度，拉近了網格線的距離，創造出越來越細的網格。當它變緊密時，你可以測量的點的數量會增加，從而接近一個理想化概念的場——在那裡你可以在任何地方進行測量。
“點之間的距離變得很小，最終就變成了一個連續的場，”塞伯格說。從數學上講，連續的量子場是緊緻格子的極限。
數學家習慣於用極限工作，並且知道如何確定某些極限確實是存在的。例如，他們證明了無限序列的極限1/2+1/4+1/8+1/16…是1。而物理學家想證明量子場是這個網格操作的極限所得。他們只是不知道怎麼做。
摩爾說：“目前還不清楚如何利用這個極限，以及它在數學上有什麼意義。”
物理學家毫不懷疑緊緻格子最終會指向理想化的量子場。QFT的預測和實驗結果之間的緊密吻合有力地表明瞭這一點。
塞伯格說：“毫無疑問，所有這些極限確實存在，因為量子場論的成功確實令人震驚。”但“有確鑿證據證明某件事是正確的”，和“完全證明出來它是正確的”，這是兩件不同的事情。
這是一個不精確的程度的問題。QFT跳脫出了其他偉大的物理理論，並渴望取而代之。艾薩克·牛頓運動定律、量子力學、愛因斯坦的狹義相對論和廣義相對論——它們都只是QFT想講述的更大故事的一部分。但與QFT不同的是，它們都可以用精確的數學術語寫下來。
“量子場論作為物理現象的一種幾乎通用的語言出現了，但它的數學形式很糟糕，”迪傑格拉夫說。對一些物理學家來說，這是停下腳步的原因。
“如果整個房子都是建立在這個核心概念上的，而這個概念本身並不是用數學的方式來理解的，那你憑什麼這麼自信這是在描述我們的世界？這讓整個問題變得更加尖銳。”迪傑格拉夫說。
（未完待續）
作者：Kevin Hartnett
翻譯：Dannis
審校：C&C
原文連結：
https：//www。quantamagazine。org/the-mystery-at-the-heart-of-physics-that-only-math-can-solve-20210610/
編輯：Dannis
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