一文秒懂多元函式極值

在多元函式中，極值的充分條件往往容易記混，這是因為相比一元函式極值的充分條件，多元函式極值的充分條件的內容要複雜的多。

1。多元函式極值的必要條件

多元函式極值的必要條件與一元函式的必要條件無甚差別，只是從一元擴充套件到多元。

只需利用偏導數的定義即可證明上述的定理。

但是有一點要注意，多元函式極值的必要條件中，題幹條件只要求可偏導，不是要求一定可微。在多元函式中，可微必定可偏導，但可偏導不一定可微。而在一元函式中，可微與可偏導是等價的。

當二元函式變成三元、四元，甚至更多元的多元函式時，多元函式極值的必要條件仍然成立，即多元函式在滿足某一點可偏導、取極值的情況下，函式在該點的偏導數均為0。

2。多元函式極值的充分條件

接下來看看多元函式極值中的難點——充分條件，不妨先看看多元函式極值的充分條件的具體內容。

仔細看看多元函式極值的充分條件，一定要注意，多元函式極值充分條件的要求嚴苛得多，即要求函式在一點的鄰域內

具有一階及二階的連續偏導數

。

那麼多元函式極值的充分條件怎麼來的呢？

大家還記得一元函式第二充分條件的證明嗎？沒錯，利用泰勒公式。那麼在多元函式中，也可以用泰勒公式來證明，只是相比於一元函式，多元函式的泰勒公式比較複雜。

雖然複雜，但是卻好記憶，下面先給出多元函式的泰勒公式：

注意上方標綠的部分，此處用到了定理，即當二階偏導數連續時，二階混合偏導數與求導次序無關。這就解釋了為什麼在多元函式極值的充分條件中，要強加一條二階偏導數連續的要求了！

在瞭解了二元函式的泰勒公式後，不妨試試證明二元函式極值的充分條件的結論1。首先對二元函式應用泰勒公式進行化簡，具體過程如下：

在化簡到上面這一步時，不易直接觀察△f的正負號與A、B、C之間關係，這時應結合定理中給出的關於A、B、C的不等式進行分類證明。

對於定理中的結論1，具體推導過程如下：

注意上方推導過程中標綠的部分，如果直接用不等式AC-B^2>0進行化簡，將得不到證明。

充分條件的結論2和結論3的證明，有興趣的同學可以去翻閱教材。小編就不多贅述。

小編之所以把結論1的證明寫出來，主要是給大家提供一個記憶方法的選擇。也就是說從推導中，理解和記憶二元函式極值的充分條件。

透過結論1的證明，大家就會知道，為什麼在多元函式極值的充分條件定理中，要附加一個嚴苛的條件，即二階偏導數連續。而在一元函式充分條件定理中，並沒有要求二階導數連續。

另外，透過結論1的證明過程，還可以幫助大家解除另外一個疑惑，那就是在滿足AC-B^2>0，為什麼f（x0，y0）是極大值還是極小值與A的正負號有關？如果與A的正負號有關，那C呢？因為從偏導的形式上看，A與C在影響極值型別上是相同的。

事實上，透過證明，可以發現在滿足AC-B^2>0的情況下，A、C是同號的，並且A、C的正負號直接影響多元函式極值的型別。