先看機率，再看賠率
許多人將股票交易看作類似賭博的遊戲，反正玩法無非就是爭取低買高賣，賺得差價。從投機角度來看，炒股確實可視作一種賭博。
從投資角度看呢？投資，也是面對不確定性的未來去“下注”，爭取獲利，似乎也是另一種形式的賭博而已。
依我的理解，這兩種“賭博”之間的主要區別，好像只在於投資所追求的把握要更高，而通常歷經的時間也要更長。當然兩者的世界觀和方法論也都有差異，那是另一個話題。
我們將投資也看作一種特殊的賭博，那麼有兩個有意思的觀察角度，即機率和賠率。
我還特地去查了下，“機率”一詞的英文是probability，而“賠率”的英文是odds。但是這兩個英文單詞，本質上都可以翻譯作“可能性”，含義是相當的。
那我們在此說的機率和賠率，究竟有什麼區別呢？這麼理解吧：機率是指一個客觀的可能性，而賠率是市場或賭局所給出的、所預測的可能性。
以拋硬幣為例，出現正反面的機率大致是50%；而賠率卻可以因不同的賭局而異。
假如賠率是2倍，即每投入1元獲勝可得2元（失敗損失本金1元），那麼這個遊戲的數學期望收益剛好是0。
但假如賠率是1。5倍，即每投入1元獲勝可得1。5元（失敗損失本金1元），那麼這個遊戲的數學期望是負的（-0。25元），根本不值得你去玩。
萬一賠率是2。5倍，即每投入1元獲勝可得1。5元（失敗損失本金1元），那這個賭局的莊家很可能在犯一個錯誤，玩家大可積極參與這個遊戲，平均下來每局可以贏得0。25元收益。
任何理性人參與一個賭局或遊戲，前提條件是數學期望應為正值，說白了就是預期要能賺錢，否則就不該參與。但是市場可以選擇的標的（賭局）那麼多，人們究竟應該參與哪一個，以及應該投入多少呢？
我設計下面兩個遊戲——
遊戲A：
箱子裡有100個小球，其中60個紅球，40個白球。抽中紅球，你即可贏得10元；抽中白球，你需要付出下注的金額10元，下注金額可以翻倍。
遊戲B：
箱子裡有100個小球，其中80個紅球，20個白球。抽中紅球，你即可贏得5元；抽中白球，你需要付出下注的金額10元，下注金額可以翻倍。
假如你現在身上帶著100元，你更願意參加哪個遊戲？每次投注多少錢？
明眼人已經算得出來了，無論遊戲A或者遊戲B，其實參與每局（10元）的數學期望都是贏得2元。從這個角度而言，參與任一遊戲，長期而言都是等價的。
比如你兩個遊戲分別玩了1萬局，那麼最終兩邊應該都是差不多贏2萬元。玩的局數越多，兩邊的差異只會越小，這就是大數定律。
但只有100元的限制條件下，你更願意參與哪個遊戲呢？以及，每次投注多少錢？這就是個相對複雜一點的話題。
這裡我們需要引入“凱利公式”。
其中——
f*為現有資金應進行下次投注的比例；
b為投注可得的賠率（不含本金）；
p為獲勝率；
q為落敗率，即1-p。
凱利公式其實有嚴格的推導過程（並不難），由約翰·拉里·凱利（John Larry Kelly， Jr。）1956年發表。
我們分別算下兩個遊戲每次應該下注的比例：
f（A）=［（10/10）*0。6-0。4］/（10/10）=0。2/1=20%
f（B）=［（5/10）*0。8-0。2］/（5/10）=0。2/0。5=40%
也就是說，玩遊戲A，為了實現長期增長率最大化，你應該每次投注當前本金的20%；而玩遊戲B的話，應該每次投注當前本金的40%。理論上來講，參與遊戲B財富積累增長的效率更高。
這種效率的差異會有多大呢？我們按初始100元來算看看。為方便起見，直接按數學期望值做下測算。
因為遊戲A每次只能投入20%，而遊戲B每次投入40%，所以日積月累，玩了50次之後，遊戲A我們財富積累到710元，而遊戲B我們將財富積累到4690元之多！
當然，因為存在隨機因素，這只是一個理論上的結果。現實世界中，完全有可能是玩遊戲A的人領先（比如A運氣好連續贏而B連續輸），只是說機率上而言，玩遊戲B的優勢明顯會更大。
為了進一步說明道理，我們再引入兩個更極端一點的遊戲——
遊戲C：
箱子裡有100個小球，其中51個紅球，49個白球。抽中紅球，你即可贏得15元；抽中白球，你需要付出下注的金額10元，下注金額可以翻倍。
遊戲D：
箱子裡有100個小球，其中99個紅球，1個白球。抽中紅球，你即可贏得1元；抽中白球，你需要付出下注的金額10元，下注金額可以翻倍。
計算可知，玩遊戲C的數學期望是每局（10元）平均能贏得2。75元，而玩遊戲D的數學期望是每局（10元）平均能贏得0。89元。
A、B、C、D四個遊戲，假如我們有無限可投的本金，以及無限可參與的次數，那麼顯然我們參與遊戲C是最划算的，因為數學期望值更高；相反遊戲D是最不划算的，因為數學期望最低。
但是根據凱利公式，在資源有限的情況下，遊戲C和遊戲D我們每次應投入的本金比例差異很大。
f（C）=［（15/10）*0。51-0。49］/（15/10）=0。275/1。5=18。33%
f（D）=［（1/10）*0。99-0。01］/（1/10）=0。089/0。1=89%
遊戲C每次參與18。33%就好了，而遊戲D值得每次壓上89%的本金。
我們看下四個遊戲按凱利公式得到的本金比例投注結果會如何——
數學期望最高的遊戲C，實際增長反而不是最高的。數學期望最低的遊戲D，實際增長也不是最低的，甚至還挺高的。
所以我們不單單要看一個賭局的數學期望，還應該同時考慮它值得投入的本金比例。而在（考慮機率之後）收益相當的情況下，顯然仍應該追求把握更大的——因為可以投入更高比例的本金。
針對機率更小的賭局，除了賠率需要能夠匹配提高以使得數學期望值相等之外，顯然還需要額外的“風險溢價”進一步提高賠率，才真正值得玩家參與。
換言之，對我們投資的啟示是：有把握的股票，才更值得我們重倉；把握低的股票，因為投資者們適合投入的金額比例也應下降，所以預期的收益需要超幅度地提高。
但現實的投資世界中，卻也並不是那麼簡單。
首先，投資股票通常很難損失掉所有本金，盈利的幅度（尤其短期內）也很難超過1倍之類的那麼多。
其次，類似遊戲D理論上值得投入89%本金比例的賭局，在投資中我是強烈反對的，因為現實中你很難找到這種99%盈利的投資機會（或者往往收益率很低），而現實中也不是每隻股票都是預期正收益，很多根本不值得投資。
再次，現實中投資股票的收益率是與持股時長高度相關的，不是一竿子買賣，這點與凱利公式所設計的模型也差異極大。
總之，凱利公式還是給我們一個重要的啟示，就是：先看機率，再看賠率。賠率越高，通常機率越低，值得投入的倉位也很小，純屬浪費精力的可能性很大。
