你知道嗎？在你聽過的每一首歌裡，都藏著奇妙的科學
在如今這樣一個時代，人們的生活已經逐漸與音樂密不可分。
走路時聽歌、逛商場時聽歌、喝咖啡時聽歌、看書時聽歌，幾乎成為了一部分人生活的常態。
也許此時的你，就正在一邊聽著歌、一邊閱讀此篇文章。
但卻很少有人會去思考這樣一個問題，我聽的這首歌，它為什麼會這麼好聽？
是因為寫歌的人太有才華嗎？
其實，並不完全是這樣。
你知道嗎，幾乎在你每天聽過的每一首歌中，都不僅僅凝聚作曲家的心血，還蘊藏著無數中國古代人民的智慧。
為什麼呢？因為不管是哪一首歌，都離不開音樂上的各種律制。
有了這些音樂律製作為基礎，作曲家們才能在堅固的地基上造出宏偉的音樂大廈，你才能在如今聽到各種愜意動聽的歌曲。
早在古代的中國，智慧的中國人就已經能夠獨立發明出三分損益律（國外也稱五度相生律）、十二平均律這些在世界各地影響最大、傳播最廣的音樂律制。
而在這些音樂律制的背後，無一不是藏著無比精妙的數學和物理學理論。
這篇文章，將回溯古代中國的音樂發展歷史，帶大家深入瞭解那些起源於中國的偉大音律體系和其背後的科學理論。
01 從《菊花臺》等中國風歌曲背後的五聲音階說起
如今世界上最為通用的音樂律制，叫做十二平均律。我們所熟知的哆、啦、咪、發、嗦、啦、西這樣的音階，就是根據十二平均律而來。
但十二平均律的誕生和應用，還得追溯到我國的明朝和清朝末期。
那在古代的中國，在十二平均律還未被髮明創造出來之前，人們日常生活中用什麼樂律來創作音樂？
它就是三分損益律。
三分損益律可以算是我國曆史最為悠久、在古代社會中影響最為廣泛的一種音樂律制。
不同於由十二平均律產生的七聲音階，三分損益律這一樂律的音階中，主要有五個音。
早在春秋時期的著作《管子·地員篇》中，就有過這樣的記載：
“凡聽徵，如負豬豕覺而駭；
凡聽羽，如鳴馬在野；
凡聽宮，如牛鳴窌中；
凡聽商，如離群羊；
凡聽角，如雉登木以鳴，音疾以清。”
可見在2600多年前，古人就已經能將五種特殊的聲音與牲畜的鳴叫聲所相關聯。
而這其中的五種聲音——
宮、商、角（jué） 、徵（zhǐ） 、羽
，就是我國古代人民在音樂上所使用的“五聲音階”。
與如今十二平均律的音階相對比，
宮音
對應我們日常所說的
1（do）
音，
商
相當於
2（re）
音、
角
相當於
3（mi）
音、徵相當於
5（sol）
音、羽相當於
6（la）
音。
這樣一種五聲音階，對當今音樂文化的發展仍有不小的影響。
周杰倫在其很多流行音樂歌曲中，就使用了五聲音階進行作曲，比如《菊花臺》、《青花瓷》、《蘭亭序》、《紅塵客棧》等這些中國風歌曲。
還有老版《笑傲江湖》的主題曲《滄海一聲笑》、黃安演唱的那首“抽刀斷水水更流，舉杯消愁愁更愁”《新鴛鴦蝴蝶夢》，以及我國《茉莉花》、《敖包相會》這些著名的民間歌曲，均是採用五聲音階所創作。
有興趣的讀者如果去查閱以上這些歌曲的簡譜，會發現它們的樂譜中一定不會出現4（fa）和7（xi）這兩個音，而是全部由1、2、3、5、6這五個音構成。
而產生這樣一種五聲音階的方法，就是我們接下來即將說到的“三分損益法”。
周杰倫《菊花臺》部分簡譜
02 五聲音階的誕生：三分損益法
形成三分損益律這一樂律的方法，叫做三分損益法。古人正是用這種方法，創造出了三分損益律中的五聲音階。
繼上文所述，在《管子·地員篇》中提到五聲音階後，該篇也指出瞭如何透過一種具體的方法產生宮、商、角、徵、羽這五個音：
“凡將起五音凡首，先主一而三之，四開以合九九，以是生黃鐘小素之首，以成宮。三分而益之以一，為百有八，為徵。不無有三分而去其乘，適足，以是生商。有三分，而復於其所，以是成羽。有三分，去其乘，適足，以是成角。”
這是人們在中國音樂律制發展史中，能找到的對於“三分損益”這一概念最早的記載。
到了漢代，在司馬遷的《史記·律書第三》中，則是用更為詳細的資料指明瞭五音的生成方式：
“九九八十一，以為宮。
三分去一，五十四，以為徵。
三分益一，七十二，以為商。
三分去一，四十八，以為羽。
三分益一，六十四，以為角。”
這段話是什麼意思呢？
意思是，我們首先將一個長度為81的律管（律管：古人用竹管或金屬管制成的定音器具，也可用一根弦代替）振動所發出的的聲音定為
宮音
。
三分去一，即是將81乘以2/3得到54，那麼這樣一個長度為54的律管，所發出的的聲音就是徵音；
三分益一，則意為再將徵音律管的54乘上4/3得到72，這樣一個長度為72的律管發出的聲音為商音；
同理，再將宮音律管三分去一，即72乘上2/3等於48，為羽音律管的長度。
最後，將48再乘上4/3得64，是角音律管的長度。
至此，宮生徵，徵生商，商生羽，羽生角。
透過這樣一種三分損一（乘上2/3）或三分益一（乘上4/3）的方法，人們就由最初的宮音生成了其餘四個音，形成五聲音階。
那麼此時肯定有讀者會提出疑問，這樣一種透過“三分損益”來製造音階的方式，古人又是如何思考得出來的呢？
司馬遷《史記·律書第三》中關於三分損
03 建立在數學與物理學上的三分損益法
在探究三分損益法的科學本質之前，不妨先了解兩個音樂知識上的小概念：
基本音級
和
八度
。
什麼叫做基本音級？
很簡單，在我們的日常生活中，相信人們都應該知道音樂歌曲中的哆、來、咪、發、唆、拉、西。
以上這七個為大多數人們所熟知的常用音，即：
1（do）、2（re）、3（mi）、4（fa）、 5（sol）、6（la）、7（xi）
，就是七個基本音級。
更專業一點的話，可以寫為
C（do）、D（re）、E（mi）、F（fa）、 G（sol）、A（la）、B（xi）
，其中C、D、E、F、G、A、B稱為它們的
音名
，do、re、mi、fa、sol、la、xi稱為
唱名
。
如果藉助鋼琴鍵盤來理解的話，這一說法還可以更加形象，即鋼琴上所有的白鍵，都可以稱為基本音級。
基本音級
什麼是八度？
在日常生活中，我們會聽到類似於“低音1（do）”、“中音1（do）”、“高音1（do）”這樣的概念。
通俗地說，低音1與中音1就是八度的關係，中音1與高音1也是八度關係。
專業一點，在鋼琴的鍵盤上，距離最近且兩個具有同樣音名的音，稱二者相距一個八度。
如從c1到c2是八度關係，從c2到c3也是八度關係，從c1到c3是兩個八度。（C為do音，1、2、3為角標序號，以區分音名相同但音高不同的音）
八度關係圖
另外，補充一個物理學上與八度相關的知識。
有一定物理學基礎的讀者們應該知道，我們平時所聽到的聲音的高低，和發聲體的振動頻率有關：
振動的越快、頻率越高則聲音越高，反之聲音則越低。
而鋼琴的聲音，就是由琴絃的振動來產生。
兩個音若是八度關係，那麼它們的振動頻率之比就恰好是1：2。比如，若C2的頻率為f。那麼比其高一個八度的C3，振動頻率就是2f；比其低一個八度的C1，振動頻率就是0。5f。
明白了上面這些概念，我們就可以進一步探究三分損益法了。
想必大家由日常生活中的經驗，可以很容易明白這樣一點：
並不是任意幾種聲音隨便組合起來，就能形成好聽的音樂。
對於音調高低不同的幾種聲音，有一些聲音放在一起會很和諧，人們聽起來也會覺得愜意動聽。
但有些聲音若將它們組合在一起，就會很不和諧，聽起來很刺耳、甚至像是噪音。
古時候的人們也明白這些，所以他們想要在各種不同音調的聲音中，挑選出相互組合起來能夠比較和諧的那些聲音。
然後再將這一系列聲音按照音調高低排列起來，形成音階。
如若從這樣一種音階中選取不同的聲音來進行音樂上的創作，不就更容易構成一首和諧動聽的樂曲嗎。
那麼，如何找到這一系列互相組合卻仍然能夠保持和諧的聲音？
這裡就需要再次牽涉到物理學，對於一根弦（或是律管）來說，它振動的頻率與其自身的長度成反比。
當你用手指撥響琴絃使其振動發聲，那麼琴絃的長度越長，則振動越慢、頻率越低，聲音也就越低；琴絃的長度越短則振動越快、頻率越高，聲音越高。
古代的人們雖然沒有如今這樣牢固的物理學知識作為理論基礎，但是也能從長期的生活經驗中總結出類似的規律。
於是，古人嘗試著透過不斷改變琴絃（或律管）的長度，來尋找這一系列和諧的聲音。
人們將弦的兩端固定，用手指固定住弦上的某一點，再撥響該點左側或是右側的部分，就相當於是改變了每次發聲的琴絃的長度。
並且這樣一種分割琴絃的方式，很容易將分割後的琴絃所發出的的聲音，與原長度琴絃的聲音來進行對比，從而知道新產生的音與之前的音是否和諧。
為了方便起見，我們假設原琴絃長度為1、撥響發聲時的振動頻率為F。
首先是最簡單的分割，即將弦的長度一分為二。
用一隻手固定住弦的中點處，另一隻手撥響中點左右任意一側的琴絃。
由上面所說過的弦的長度與振動頻率的關係，長度只剩1/2的琴絃，那麼其振動頻率應是原本長度琴絃的2倍，即為2F。
由上面八度的知識，我們又可以知道，透過將琴絃長度二等分的方式，所產生的新的音與原來的音恰好是八度關係。
人們發現，透過這種方式產生的新的聲音，與原琴絃的聲音幾乎可以完全交融在一起，當它們共響時，聽起來的感覺就像是隻有一個音。
但是，這對他們來說似乎並沒有多大的意義，因為這樣找到的音，它們其實都是同一個音名，只是音高不同罷了。
用如今通俗一點的話來說，就像是人們由低音1（do）找到了中音1（do），又由中音1（do）發現了高音1（do），再由高音1（do）找到了更高的1（do）音……
這些音雖然組合在一起聽會無比和諧，但是也太單調了，無法形成豐富動聽的音樂。
於是，人們繼續嘗試用其他的比例來分割琴絃。
用手固定住弦的1/3處，人們發現2/3長度部分的琴絃撥響時所發出的音，與原琴絃發出的音比較和諧；
用手固定弦的1/4處，同樣發現3/4長度部分的琴絃撥響時所發出的音，與原琴絃發出的音也有那麼些和諧，但和諧程度不及2/3的部分；
再之後，人們又繼續嘗試了1/5、1/6、1/7、1/8。。。。這些特殊的位置。
但發現無論如何，都無法產生與原琴絃聲音相和諧的新的聲音了，這些新產生的音與原來的聲音相對比起來總會很刺耳。
這時候似乎陷入了僵局，只找到了兩個音，就找不下去了。
但好在，古人的智慧總是會讓我們驚喜。
既然往下找再也找不到合適的音，那為什麼不在之前分割的基礎上，再進行同樣的分割呢？
在2/3長度的基礎上，再取2/3，那麼這樣產生的聲音和2/3部分的聲音是和諧的，而2/3部分的聲音又與原琴絃聲音和諧，那麼新產生的聲音不就也能與原琴絃聲音相和諧嗎。
這就是一種巧妙的和諧傳遞過程。
這樣一來，問題就出現了轉機。
但我們得明確的是，我們所要找的一系列音，都得是在一個八度之內，這樣最後才能排列形成音階。
這時候就需要研究在各種分割下，不同部分琴絃的振動頻率。
原琴絃的頻率為F，則與其恰好為一個八度關係的頻率就是2F。
所以，人們所需要的合適的聲音的頻率，應該處於F→2F這樣一個範圍內。
至此，人們終於找到了足夠的依據來形成五聲音階：
第一個音
，就是長度為1的琴絃自身振動所發出的聲音；
第二個音
，是長度為2/3的琴絃發出的聲音，其與第一個音較為和諧。
第三個音
，我們將2/3長度部分的琴絃，再取它的2/3，得到長度為4/9的琴絃，那麼它的振動頻率為9/4F。
但9/4F已經明顯超過F→2F這一範圍內了。
沒關係，由八度之間的頻率關係，我們可以知道頻率為9/4F的音，在F→2F中所對應的、比它低一個八度的音的頻率，應該是9/4F的二分之一，即為9/8F。
由頻率與弦長成反比可知，與頻率9/8F對應的弦長為8/9。
第四個音
，我們將從4/9長度的琴絃中再取2/3，即2/3的3次方得8/27，其頻率為27/8F，同樣超過了F→2F的範圍，將其頻率減半得27/16F。
與該頻率對應的弦長為16/27。
最後，第五個音
，取2/3的4次方，得16/81，頻率為81/16F，頻率減半後為81/32F，仍然超過範圍，再減半得81/64F，正好處於F→2F之間。
與該頻率對應的弦長為64/81。
因為我們在開始時所設的弦長為1，而司馬遷《史記·律書第三》中所記載的初始長度為81。
沒關係，我們將所得到的弦長1、2/3、8/9、16/27、64/81全部擴大81倍，這時候你發現了什麼？
81、54、72、48、64，我們得到了與《史記》中所記載的資料完全一致的結果。
雖然《史記》中所記載的“三分損益”的方法與上面相比更為簡單，但思想本質其實是一致的。
因為不論是“三分損一”所對應的2/3、還是“三分益一”所對應的4/3，始終都離不開古人所總結出的這兩個重要的比例，即2：3與3：4。
而在今天的物理學中，人們發現頻率比為2：3兩個音，它們所構成的音程恰好就是純五度；頻率比為3：4的兩個音，它們所構成的音程恰好就是純四度。
在現代樂理中，純四度和純五度又叫做協和音程，意思是處於這樣一種關係的兩個音，它們融合在一起聽給人的感覺，是比較和諧的。
這樣看來，在缺少現代各種科學理論支撐的情況下，古人完全憑靠自己的智慧經驗以及不斷的探究摸索，就已經找到了音樂體系中音與音之間的規律，形成了影響至今的五聲音階。
中國人的聰明才智、中華文化的博大精深，由此可見一斑。
寫在最後
事實上，古人在由三分損益法得到五聲音階後，並未就此停滯，而是繼續“損益相生”。繼五聲音階之後，又生成了變徵和變宮兩個音，組成了七聲音階。
但這樣還不夠，最後人們一共損益相生了十一次，生成了十二個音，形成了所謂的“十二律”。
然而，人們發現透過這樣的方式，在損益相生十一次之後，卻再也回不到最初的起始音上來，再往下生成，聲音的種類將會無窮無盡。
在三分損益法出現約一百年之後，西方世界的古希臘數學家畢達哥拉斯也提出了思想與三分損益律類似的五度相生律。
但不論是三分損益律、五度相生律，由這些律制所產生的各音階，它們之間頻率的比值並不是固定的，所以它們也被稱為不平均律。
這也是為什麼“三分損益法”在生成十一個音後卻再也無法回到起點。
這樣一來形成的音階，就無法做到週而復始、迴圈往復，就會面臨轉調上的各種問題。
兩千多年來，數不清的數學家、音樂家為此嘔心瀝血，想找到一種能夠實現自由轉調的方法，但均毫無所得。
朱載堉
直到明朝時中國一位劃時代人物的出現，徹底改變了這樣一個局面。
他極具創新地提出了十二平均律這樣一個學說，解決了當時這個困擾了人們幾千年的音樂難題。
在十二平均律中，以任意一個音為起點所構成的音階，均能無往不復。
正是因此，它為近現代音樂的一系列新理論的誕生開拓了無比寬闊的道路，各種鍵盤樂器也因此而蓬勃發展。
那麼，什麼才是真正的十二平均律呢？
又是在什麼樣的時代與人物背景下，才誕生了這樣一個偉大的樂律？
十二平均律中又藏著哪些精妙的科學理論，它的發展和應用又經歷了怎樣的坎坷命運？
在日後的文章中，將聊一聊我國明朝時的大音樂家朱載堉以及誕生在他手中的十二平均律。
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