數學史：從輝格史到思想史

數學史：從輝格史到思想史

張東林

摘要：以代數解釋為代表的輝格編史學一度在數學史研究中佔據主導地位，這種編史學導致了數學史的盲目和貧乏。上世紀七十年代以來，許多數學史家努力開闢不同於輝格史的研究進路，然而迄今為止仍未能清除數學史中的輝格傾向。為揭示這一困難的根源，我們回顧了克萊因對數學史本身的起源的追溯，從中看到，數學史中輝格傾向的根源恰恰在於近代數學本身。因此，數學史要想擺脫輝格傾向，必須首先成為一種能夠揭示自身根源的研究，即一門思想史。包括柯瓦雷的科學思想史在內的許多思想資源都可幫助數學史實現這一轉變。

關鍵詞：數學史，編史學，輝格史，思想史

一、 早期數學史中的輝格編史學

當代的數學史研究興起於19世紀末20世紀初，在那之後相當長的一段時間裡，一種明顯的輝格編史學在數學史學科中佔據著主導地位。數學史家習慣於從當下的數學概念出發去分析古代數學文字，認為這些文字的全部價值在於它們包含了一些數學思想，能夠被納入現代數學的邏輯結構。原始文字的表達方式被認為是“笨拙”和“累贅”的，掩蓋了其中“真正的”數學內容，因此數學史家的任務就是從原始文字中把這些內容打撈出來，將原始的表述棄之不顧，採用更適合於表達數學概念的現代數學語言來重新表述它們，使之更加清晰和容易理解。在這種編史觀念之下，一位古代數學家的貢獻無非就是闡述了前人未知的“有意義的”數學概念和命題，或發明了“更好的”表述形式，從而成為某種現代數學理論或方法的先驅。整個數學史被描寫成數學知識的累積式發展，即數學概念和命題的不斷積累，以及表述形式的逐漸最佳化，呈現為一個向著當下的數學體系不斷進步的歷程。凡是不符合這一發展方向的數學工作，都被視為倒退、停滯或誤入歧途，數學史家有義務為這類異常提供一個解釋，指出有哪些可能的因素阻止了古代數學家作出應有的發現或發明，數學中的史詩英雄們又是依靠什麼新武器衝破了這些障礙，引導數學走向凱旋。按照這樣的歷史圖景，當代數學處在進步階梯的頂端，對數學的內容、結構、方法和語言擁有最為深刻和高屋建瓴的理解，因此，一位精通當代數學的數學家天然地就是撰寫數學史的最佳人選。顯而易見，由這一編史綱領產生的數學史只能是一部勝利者為勝利者書寫的歷史，一部典型的輝格史。

這種編史綱領的一項典型成果就是在希臘數學史研究中採取所謂的“代數解釋”，即把歐幾里得《原本》中的諸多內容和許多其它的希臘幾何學命題解讀為隱蔽的代數定理，聲稱這些內容“本質上”與今天的符號代數並無差異，只不過表述形式不同，是用幾何語言表達的，可稱為一種“幾何式的代數”（geometric algebra）。這種解釋方式可追溯到希臘數學史領域的開拓者法國科學史家塔納裡（Paul Tannery）和丹麥數學家措伊滕（Hieronymus Zeuthen）19世紀末的工作，後來被希思（Thomas Heath）和諾伊格鮑爾（Otto Neugebauer）等具有重大影響力的歷史學家繼承，從而成為一種標準解釋，在很長時間裡都沒有受到挑戰，直到上世紀六七十年代仍然處於主流地位［Unguru 1975， pp。 69–74； Saito 1986， pp。 25–26； Grattan-Guinness 1996， p。 356］。按照這種解釋，希臘數學之所以給代數穿上幾何的外衣，是因為希臘人的數系不完整，只包括了正整數和正有理數。當畢達哥拉斯派發現某些線段的比無法表達為整數的比時，希臘數學就遭遇了邏輯基礎缺失的危機。為了確保邏輯嚴密性，希臘數學家不得不將代數重新建立在幾何的基礎之上，用幾何定理的形式闡述代數問題的解。在這種幾何式的代數中，幾何量代表現代的正實數，量的合併分割代表了加減法，以兩條線段為邊的矩形或平行四邊形代表線段的乘積，在一條給定線段上貼附一個給定大小的矩形或平行四邊形則代表除法，正方形代表其邊的平方，正方體代表立方，於是許多幾何定理可以被翻譯為代數命題，用現代的符號“更清晰地”表達出來。例如，歐幾里得《原本》第二卷的全部14條關於矩形和正方形的定理都被翻譯成類似 （a + b） a + （a + b） b = （a + b）2； 這樣的代數恆等式或方程，這種翻譯被認為反映了歐幾里得“真正的”想法，理由是這些定理從幾何角度來看過於明顯，沒有什麼幾何意義，只能解讀為代數命題。第五卷和第七卷闡述的比例理論也被翻譯為代數語言，兩個數或量的比被翻譯成a / b，四個數或量成比例被翻譯成等式a / b = c / d，比的複合（compounding）被理解為分數的乘法運算。第十卷關於不可公度量的討論被視為無理數理論的一個繁瑣、不完整的替代品。此外還有許多作圖命題被視為用幾何手段解代數方程。根據這樣的解讀，幾何直觀就成了希臘數學發展的障礙，因為幾何無法超越三維，所以幾何式的代數無法有效地處理三次以上的代數方程，只能求助於比例論，不但繁複累贅，而且只能處理極少數情形，這一障礙的突破有賴於數系的擴大，將無理數納入數的集合之後才能用數表示幾何量，使量的代數重新成為數的代數。

直到上世紀六七十年代，代數解釋才開始遭到全面系統的批判，但事實上足以否定代數解釋的思想資源早就存在。哲學家、思想史家克萊因（Jacob Klein）在1934–36年發表的《希臘數學思想與代數的起源》（Greek Mathematical Thought and the Origin of Algebra）［1］中已經揭示了代數學的一個根本特徵，這一特徵與數概念的演變有密切關係。克萊因所講的數概念的演變不是數系的擴張，而是數在“意向”方面的變化，他追問的是希臘人與現代人在談論和使用數的時候所採取的意向樣式有何差別，這種與眾不同的追問方式使他能夠揭示出代數學的獨特意義。克萊因看到，希臘人的數（arithmos）總是指“被計數之物”，是由確定數目的確定之物組成的東西。在這樣的概念下，數不但不包括無理數，也不包括分數，甚至“一”也不是一個數。希臘人始終認為，“一”是數的本原，是構成數的單元，是用於計數的尺度，它本身絕不能被視為一個數。作為單元的“一”反映的是從日常生活世界中誕生的那種對於物的原初把握，即每個物都可以被稱為“一個”，不同的物總能被歸入同一類，從而能用相同的單元來對它們計數。與此相適應的是像自然史那樣的分類式的研究，尋找每一個物所屬的恰當型別是希臘人理解整個宇宙的基本方式。現代的數則完全喪失了原初的直接指向確定之物的“第一意向”，僅僅指向與物相分離的概念，成為一種抽空了意義的符號，正因如此，它才能夠把一些最初僅由運算規則規定出來的物件（如負數、無理數、虛數等）納入其中。只有在這種符號性的思想方式之下，一種普遍適用於數和量的代數學才是可能的，符號性的數的誕生和代數學的誕生實際上是一回事，它們都起源於韋達（Franois Viète）對丟番圖（Diophantus of Alexandria）著作的重新闡釋，最終由斯臺文（Simon Stevin）、笛卡爾（René Descartes）和沃利斯（John Wallis）等人加以完成。

從克萊因的論述中我們可以看到，代數的符號語言不是單純的“表達工具”，而是現代人的符號性思想方式的實現。希臘人的思想方式則基於對“物”的原初理解，每個物總是作為切身的“這一個”被直接把握，而不是在一個已經作為整體預先被理解的時空框架中定位出它的個體性。這一特點明顯地反映在希臘數學的特定用詞上，數學定理的陳述總是使用“這一個”和“每一個”，而從不說“某一個”或“任意一個”［希思1998，頁179］。希臘幾何學研究的是圖形而不是幾何空間，圖形的位置（topos）是指它的擺放方式，而不是在某個背景空間中的定位，希臘人根本沒有這種作為背景的空間概念，“歐氏空間”並不是歐幾里得的創造［吳國盛2010，頁46］。在這種思想方式下，數學家不可能擁有符號性的數或量的概念，不但數是指確定之物，量也是如此，希臘幾何學的量始終指的是具有確定形狀和邊界的圖形，而非長度、面積等，量的相等總是指兩個特定圖形的相等，即能夠透過特定的作圖將一個圖形轉化為另一個。希臘數學沒有真正意義上的“運算”概念，被代數解釋視為加法、減法、除法運算的那些步驟從未被希臘數學家賦予專門的名稱。例如歐幾里得任意地使用suntithemi（放在一起）和sugkeimai（平放在一起）等十分日常的詞彙來表示所謂的“加法”而從未加以定義［Fowler 1987， p。 142］。任何兩個量擺放在一起的方式都不一樣，依證明的語境不同而表現為不同的幾何作圖，這層意義是形式化的加法規則無法體現的［Grattan-Guinness 1996， p。 360］。量也沒有相乘的概念，兩條線段圍成的是具有確定位置的矩形。《原本》中唯有數的相乘有定義，但這定義也沒有脫離“擺放”的含義，兩數相乘的結果被稱為一個“面”（卷七定義16），這也是乘法規則無法反映的。《原本》中的比也不能等同於分數，比是兩個同類量的關係而非運算，歐幾里得從不說兩個比“相等”，而只說“相同”、“如同”，在《原本》中，比和比例從不脫離確定的圖形，不會在沒有具體圖形的語境下把兩個比複合在一起，拋開圖形去考察比的複合的做法直到古代晚期才出現［Saito 1986， p。 58］。代數解釋對以上所有這些特徵視而不見，為了能夠自圓其說，代數解釋不得不經常忽略古代數學家的工作的某些方面，在無法忽略時就加以貶低，稱之為平庸的、低效的或缺乏清晰性和普遍性的，這樣它才能維持自身的一致性。代數解釋把現代的符號性思考方式強加於希臘幾何學，掩蓋了希臘幾何學家原本的純粹幾何學的思考方式，以及這種思考方式與對物的原初經驗之間的聯絡，因此無法幫助我們理解希臘的數和量，也無法從根本上揭示現代的符號數學思想的深刻意義。不僅希臘數學史研究如此，對其他時代的考察也是如此，由於將現代數學的某些觀念神聖化為永恆的、普適的，導致這些觀念落入不能被反思的境地，這注定了輝格式數學史的貧乏。

二、 數學史家擺脫輝格編史學的嘗試

上世紀六十年代末，克萊因《希臘數學思想與代數的起源》的英譯本（1968）和匈牙利數學史家紹博（rpád Szabó）的《希臘數學的開端》（Anfnge der griechischen Mathematik， 1969）兩書的出版，激發了一些數學史家重新審視流行的代數解釋，並進而對它所代表的編史綱領提出批評。紹博的研究聚焦於長期受到忽視的“原始表述”，依據文字學和詞源學的考察，從歐幾里得的一些習慣用詞出發，去追溯不可公度量和比例理論可能的起源。在書末的附錄中，紹博論述了《原本》第二卷命題5的幾何意義，指出代數解釋將它理解為代數恆等式 （a b） （a + b） = a2； b2； 的替代表達是毫無根據的［Szabó 1978， pp。332–353］。受這兩部著作的啟發，溫古魯（Sabetai Unguru）在1975年發表了一篇情緒激昂的檄文，題為“重寫希臘數學史的必要性”（On the Need to Rewrite the History of Greek Mathematics），矛頭直指代數解釋，強調數學的內容跟形式不可分離。文中盛讚紹博和克萊因的工作，並言辭激烈地指控代數解釋是一種輝格史，聲稱導致這種數學史盛行的原因之一在於大部分數學史都是由退休的或喪失了數學創造力的數學家所寫的，他們太熟悉數學而不瞭解歷史學，誤以為從事歷史學不需要專門的訓練，因而用數學代替了歷史。被溫古魯激怒的數學家範德瓦爾登（B。 L。 van der Waerden）和韋伊（André Weil）［2］等撰文反擊，掀起了一場曠日持久的論戰［Saito 1986， pp。 26–28； Grattan-Guinness 1996， p。 359］。與此同時，越來越多的數學史家開始有意識地尋找新的道路，擺脫輝格編史學，以確立自身的歷史學家身份。顯然，僅僅大聲疾呼要強化歷史意識，或空洞地呼籲回到歷史的本來語境中去，並不足以實現這一目標，新一代的數學史家需要更多其它的思想資源的幫助。

一個很自然的想法是向科學史學習。科學史早期也同樣充斥著輝格史，但從上世紀五、六十年代開始，以物理學史為代表的科學史在清除輝格編史學方面取得了顯著的成就，到六十年代中後期，科學史家已經能夠自信地宣告科學史正在成為一門真正的歷史學［霍爾1994，頁225］。在這一程序中，庫恩（Thomas Kuhn）的科學革命敘事做出了很大貢獻，因此它成為數學史家們首先想到的一項思想資源，不少數學史家開始嘗試描述某種變革式的發展，以打破輝格史的進步史觀。但是一個明顯的困難隨即出現：科學革命敘事要求承認同一門學科在歷史上至少存在過兩種互相異質的理論，這樣才會有所謂的革命，即研究正規化的競爭和更替，而數學史家卻感到，似乎很難找到一種類似於燃素說或亞里士多德運動學的數學理論，數學中似乎從來不曾出現新理論取代舊理論的非連續變革，兩個數學家的爭論似乎總是能確切地分出對錯，而不是形成正規化的競爭關係。庫恩自己就把數學排除在他的論述之外。數學史家意識到，這一困難意味著輝格史學包含的某種預設仍然困擾著他們。

數學史家大多注意到了輝格式數學史的一項基本預設：存在一些永恆不變的數學實體或數學真理，它們不依賴於數學家的思想，不會受到任何“數學之外的”因素的影響而改變，具有超越時代、超越文化的同一性。在這一預設之下，數學史研究根本不存在時代錯置的問題，用現代數學語言翻譯古代文字是完全合法的；數學只有一種，它是一個囊括一切可能的數學概念和命題的邏輯結構，不同歷史時期甚至不同文明中的數學工作都是對這同一個結構的探索，這就使得累積式的進步史觀成為可能。發現這一預設並不困難，因為某些堅持傳統編史綱領的數學史家幾乎是直白地承認了這一點，例如韋伊在為自己的編史學辯護時舉例說，雖然今天的數學描述對數概念時用上了半群、同構等新概念，但這種表述“背後的事實”跟17世紀數學家發明對數時所理解到的數學事實是完全相同的［Richards 1995， p。 125］。作為布林巴基學派的代表人物，韋伊在他的數學史中貫徹了該學派對於數學結構的強調，他們的主張所反映的上述預設常常被貼上“柏拉圖主義”或“先驗論”的標籤。新一代的數學史家雖然努力拒斥韋伊的極端立場，嘗試探討不同時代數學的意義差別，但他們仍然感到數學的有效性似乎確實不依賴於歷史——舊的數學並不會像舊的物理學那樣死去，畢達哥拉斯派的“有形狀的數”、笛卡爾對代數方程的作圖之類的數學理論雖然已不再受到數學家的關注，但也不會像燃素說那樣被視為謬誤，它們看起來仍然正確，只是喪失了研究價值。因此，有的數學史家將舊的數學比喻為荒廢的城堡，它們並沒有被摧毀，只是不再有人佔據而已［Richards 1995， p。 126］。既然發生變化的只是數學家的興趣焦點，科學革命敘事也就無法給數學史提供更多的幫助，關於數學中是否存在革命的爭論無果而終，數學史家大多避免使用“革命”一詞，而採用“變革”或“準革命”的說法。

數學史家意識到，“只有一種數學”的觀念實際上將數學完全置於人的領域之外，成為歷史學無法干預的獨立王國，無論是否採取科學革命敘事，都應該設法清除這一觀念。科學知識社會學（SSK）的創始人布魯爾（David Bloor）為了將數學納入他的“強綱領”，在其代表作《知識和社會意象》（Knowledge and Social Imagery， 1976）中專門討論了“是否存在另一種數學”，他批評那種永恆完備的數學統一體觀念實際上包含了迴圈論證，一方面主張不存在“真正的”另類數學，另一方面又認為自己有權規定人們應當把什麼樣的數學視為“真正的”。布魯爾引用克萊因所揭示的“一不是數”與基於分類的希臘宇宙論之間的必然聯絡，用以論證每一種數學的意義都依賴於它所處的社會群體共有的背景預設，因此不同的社會背景下可以有不同的數學，“只有一種數學”的主張是透過把畢達哥拉斯派宇宙論之類的內容貶斥為神秘主義和迷信而加以排除才得以維持的。［布魯爾2001，第169–205頁］

但是布魯爾的SSK進路沒有立刻得到數學史家的理解。到上世紀八十年代後期，受SSK研究的影響，科學史已經揚棄內史與外史的劃分，而此時在數學史中“內部”與“外部”之間的鴻溝反而越來越深，這也進一步加深了數學史與科學史的隔閡［Richards 1995， p。 124］。有數學史家認為，科學史對內史和外史的超越實際上是對自然和社會這兩極的超越，因此數學史也應該找出相應於自然的那一極，於是他們寄希望於某種能夠刻畫數學實踐中的經驗性或“準經驗性”的數學哲學［Richards 1995， p。 124］，不再去數學知識體系中尋找變革，而是到數學家的實際工作中去尋找。在這一思路下，數學史家考察了特定時代的數學思維模式、研究方法、證明風格，以及使數學界對特定領域保持興趣或喪失興趣的因素等，在其中找到了較為明顯的變革。數學史家更改了前述的城堡比喻，認為舊的數學城堡不只是被遺棄，而且被拆毀，只不過大部分磚塊仍然保留下來，被用在新的建築中，磚塊沒有變，但整個建築的結構以及砌牆的灰漿可能已經發生了根本的變革。［Richards 1995， pp。 129–132］

經過數學史家們幾十年的努力，數學史已經從早期那種刻意的輝格式寫法中擺脫出來，但是沒有被意識到的時代錯置仍然十分常見。直到本世紀，仍然有一些數學史家感到有必要提醒同行注意避免某些帶有輝格色彩的做法，例如格拉頓－吉尼斯（Ivor Grattan-Guinness）在2004年的一篇文章中提請數學史家注意區分“歷史”和“遺產”，他用“觀念”（notion）一詞籠統地指稱數學理論、定義、證明方法、技巧、演算法、記號或整個數學等，認為我們可以辨認出一系列數學觀念構成的前後相繼的序列，“歷史”和“遺產”就是對這種序列的不同描述：“歷史”是觀念發展的細節，“遺產”則是觀念對後來的工作的影響，以及觀念怎樣嵌在後來的語境中。數學處理的是遺產，而數學史應該處理的是歷史。在他看來，這兩種描述方式經常被混淆。［Grattan-Guinness 2004， pp。 164–165］

可以說，迄今為止數學史仍然未能擺脫輝格傾向。這反映的是一種缺乏徹底反思的自然態度，數學史家默認了一個“數學世界”的存在，這個世界僅僅是一些數學“物件”的集合，諸如數、圖形、概念、命題、證明方法、嚴格性標準等都只被視為某種物件性的東西。在自然態度下，數學史家僅僅考察數學物件的所指，而不會像克萊因那樣關注數學家談論和運用這些物件時的意向樣式，因而容易把數學史研究的東西跟數學研究的東西混為一談；數學實踐也被物件化，沒有作為包含內在意向結構的活動來考察，因而不足以溝通內史和外史。從前面的回顧中我們可以看到，無論是韋伊的“數學事實”還是兩則城堡比喻，或格拉頓－吉尼斯的“數學觀念”，都是物件化的談論方式，沒有脫離自然態度。

三、 數學史的輝格傾向的根源

我們應該注意到，像代數解釋這樣的做法並不是數學史這門學科誕生以後才有的，近代早期的數學家們就已經開始這麼做了。例如笛卡爾就聲稱他所闡述的普遍方法或者說“普遍數學”（mathesis universalis）其實是每個人心中都有的，帕普斯（Pappus of Alexandria）和丟番圖等古代數學家早就掌握了這種“發現的技藝”，只不過古人刻意將它隱瞞起來，用歐幾里得式的綜合證明去掩蓋發現的過程，笛卡爾認為他自己所做的不過就是在復興這一失傳技藝，作為一門普遍數量科學的代數學正是這一技藝的典範［笛卡爾1991，頁15–18］。類似的宣告在十六、十七世紀的數學著作中相當常見，二十世紀數學史家不過是繼承了先輩們的做法。正如溫古魯所看到的，代數解釋預設了“數學是一門普遍科學（scientia universalis），是思想的代數，包含了普遍的推理方式、永恆的結構以及不依賴於時間的理想探究模式，這些東西在有文明的人類的整個歷史中都可以辨認出來，它們完全獨立於其形式，形式只不過是它們在某個特定的時間點上偶然呈現的樣子”［Unguru 1975， p。 74］。這裡提到的“普遍科學”正是笛卡爾及其同時代人追尋的“普遍數學”。

這提示我們，為了理解數學史在擺脫輝格傾向方面遭遇的困難，我們不能僅僅依靠一種關於數學知識如何產生的數學哲學，我們更需要的是對數學史本身的起源的追溯，這一追溯必須是雙重的，包含數學和歷史兩方面。這種追根溯源的工作構成了克萊因的“現象學與科學史”一文的核心。在這篇為紀念胡塞爾（Edmund Husserl）而寫的文章中，克萊因指出，以“發展”為焦點的現代歷史學實際上與現代數理科學有著共同的根源：

我們不能忽視這一事實：“歷史意識”的發展緊緊跟隨著現代科學的發展。關於自然的“新科學”在關於歷史的scienza nuova（新科學，維柯）中有其補充。現代歷史學既不是事件的編年史，也不是對過去值得紀念的事蹟作啟迪性、教化性或歌頌性的記述，而是要將人發現為、描述為一種尤其是歷史性的存在，他遵從一種“發展”，這種發展超越任何個體生命，甚至超越民族和國家的生命。現代歷史學不僅——像古代歷史學那樣——是對“事實”的詮釋和戲劇性展現，而且是對歷史“運動”本身的詮釋。在這一點上，它是數學物理學的孿生兄弟。它們都是主宰著我們實際生活的支配性力量，設定了我們思想的視域，決定著我們實踐的範圍。近幾十年的歷史主義只不過是那個總的歷史趨勢的一個極端後果。［Klein 1940， p。 149］

克萊因進一步說，這種歷史主義已經被界定為心理主義的延伸和放大，反過來，心理主義最初在英國經驗論者那裡發展起來的時候，也是第一次嘗試將新生的數理科學納入某種“歷史的”視野，企圖為科學所立足的那些概念撰寫一部“自然史”，從而填補日常生活與日益形式化的科學之間的裂隙，這正是科學史的濫觴。這樣的科學史充當的是邏輯體系的前言，是對科學的方法論基礎和概念基礎的闡述，在克萊因看來，這種描述心理之物的發展運動的歷史學，正如胡塞爾所批評的那樣，無法揭示其自身的起源，因而沒有能力理解自身，也就不可能完成填補裂隙的任務。要實現一種“回到根源”的研究，我們需要考察的不是概念在現實時間（客觀時間）中的發生，而應轉向胡塞爾所說的“內時間性”，在內時間意識的“絕對之流”中考察概念的“意向發生”，克萊因把這種考察稱為對“意向歷史”（intentional history）［3］的研究。［Klein 1940， pp。 149–150］

正如內時間意識是客觀時間得以可能的條件，“意向歷史”也是實際的歷史得以可能的條件，胡塞爾在《歐洲科學的危機和先驗現象學》（Die Krisis der europischen Wissenschaften un die transzendentale Phnomenologie）以及“幾何學的起源”（Vom Ursprung der Geometrie）一文中分析的正是這種“意向歷史”。胡塞爾認為，像幾何學這樣的科學具有“理念的客觀性”（ideal objectivity），也就是說，它能夠被任何時代、任何文明的人理解，它的可理解性是超時間的，但幾何學作為“第一位幾何學家”的發明，作為個體心靈的意向產物，必定在實際歷史中有其起源，幾何學並不是在起源處就擁有理念的客觀性，而需要另外獲得。據克萊因總結，這種獲得被胡塞爾揭示為三個步驟：最初的發明作為內在於心靈的意義構成（significant formation），包含著原初的直接被給予的明見性（evidence），這種明見性首先轉變為一種“滯留”的意識，在遺忘中逐漸消褪卻並不消失，當它被重新喚起時，就使得原初的意義構成物獲得了同一性、可以被不斷地複製；第二步是將這種意義構成物嵌入到語言中，使原初的明見效能夠透過交談傳達、複製給他人；最後一步是將語言轉譯為無需交談也能實現傳達的書面文字，使原初的意義構成物“沉積”下來，獲得完滿的理念客觀性。這種沉積同時也是遺忘，語言本身的特性使得原初的明見性在語詞的使用者對語詞的不斷熟悉中被逐漸忘卻，成為沉積在語言共同體的共同理解之下的隱含基礎，新的意義又將沉積於其上。歷史就是這樣由原初意義的構成和意義的沉積相互交織而成的。［4］ ［Klein 1940， pp。 154–156］

胡塞爾力圖揭示的是，已經日益遠離生活世界的科學世界仍然在生活世界中有其根源，因此可以透過“重新啟用”這個被遺忘的根源來解決現代科學喪失生活意義的危機，這正是先驗現象學的任務。胡塞爾的分析並不基於任何現實的歷史事件，考據的、實證的歷史學在他的計劃中沒有任何地位。但克萊因認為，當胡塞爾斷言幾何學必定在時間中有一個起源的時候，他實際上提供了意向歷史與實際歷史的一個必然連線，從這裡我們完全可以展開對於實際歷史的刻畫。上述三個步驟結束的地方正是一門科學的真實歷史開始的地方，這一歷史必定不只是關於進步和知識積累的歷史，它同時也是關於失敗的歷史，它可以跟意向歷史完全對應起來，從而能夠實現重新啟用原初基礎的任務。為了做到這一點，歷史學不能把它的問題限定在找出所謂的“事實”及其關聯，而應該把主要問題放在揭開意義沉積的全部地層，深入到任何一種科學以及前科學概念的真正開端，發掘出它們的根，最終得以重新啟用被掩蔽的原初明見性。在這種理解下，歷史學不可能跟哲學分離，歷史學的合法形式只有一種，那就是人類思想的歷史。［Klein 1940， pp。 154–156］

由以上的概述我們看到，透過追問“歷史”本身的起源，克萊因最終提出了一種完全不同於輝格史，也不同於庫恩式科學史的編史綱領，這一綱領主張一切歷史都是思想史，其核心任務不是去建立“歷史事實”銜接成的直線式、階梯式、螺旋上升式或其它任何形式的因果鏈條，而是要揭示所有從根本上決定了我們的視域、決定了我們跟世界打交道的方式的那些東西，為此，思想史必須注重對文字和語詞的考察，因為它們正是意義沉積之處。在克萊因看來，一門科學史如果不致力於上述任務，那就辜負了它自身的目的，無論它在其餘方面顯得多麼有價值［Klein 1940， p。 161］。《希臘數學思想與代數的起源》正是這種思想史研究的實踐，克萊因在笛卡爾的“普遍數學”那裡找到了代數學與現代數理科學的共同根源，從而將現代思想的關鍵特徵揭示為符號性的抽象，這種抽象方式使得現代人不再像古希臘人那樣按照一種有秩序的分類來理解整個世界，世界不再是事物各依其類的有序安排（taxis），而是變成了一種能夠被符號運算把握的抽象結構，被理解為由“事件”構成的“合乎定律”的過程［Klein 1992， p。 185］。只有在這一思想方式下，“幾何空間”的概念才成為可能，它誕生於笛卡爾的“廣延”概念，最終成為牛頓數學物理學的基石［Klein 1992， p。 211］。但這種思想方式的影響絕不只限於自然領域，克萊因在“現代理性主義”（Modern Rationalism）這篇演講中指出，“普遍數學”的符號性特徵決定了整個現代生活的方向，不但整個自然世界，就連我們的社會和經濟也都變成了一種外在於我們自己的、純粹抽象的主宰性力量，而現代理性主義卻把它們預設為對我們自身的真實表達［Klein 1985， pp。 63–64］。前面提到的現代數理科學與現代歷史學的共同根源也在於此，克萊因在另一篇演講“歷史學與自由技藝”（History and the Liberal Arts）中明確地說，維柯（Giambattista Vico）的一切民族必然經歷的“理想的永恆歷史”，正是導源於一種笛卡爾式的“普遍數學”觀念，這種歷史意識導致現代人把“歷史趨勢”當成對自身行動的指導，把“歷史性”當成自身的本性，這種“歷史性”並不意味著傳統，反而意味著割斷自身與傳統的連線［Klein 1985， pp。 134–136］。

由此可見，數學史在擺脫輝格傾向方面遇到的困難並非偶然，它恰恰反映出近代以來的數學對現代人思想的重新塑造有多麼徹底。近代數學至少在雙重的意義上設定了數學史家的視域，一方面使他們將數學視為普遍的永恆結構，另一方面使他們將歷史視為理性必然的發展運動過程。在這樣徹底現代的視域中，數學史家無法反思自身，沒有能力分辨出數學觀念中沉積的現代性，也看不到沉積在更深處的、與古希臘一脈相承的原初意義，從而把運算、空間之類的概念看成理所當然的，不假思索地用它們去重構古代文獻，因而不可避免地陷入輝格史。要擺脫這種雙重的約束，數學史必須首先成為克萊因說的那種思想史，只有這樣，它才能揭示自身的根源，從而更好地理解自身的任務並超越輝格史。

四、 數學史可以是思想史嗎？

數學對現代思想的奠基性作用決定了數學史的巨大潛力，假如數學史真正實現為一門思想史，它將能夠幫助現代人理解自身在現代生活諸方面遭遇的困境。而如果把它的任務限制為理解數學知識的來龍去脈，那將是一種嚴重的浪費。遺憾的是，儘管今天的數學史已經嘗試過多種研究進路，呈現出較為豐富的面貌，但仍然缺少思想史的向度。克萊因的研究雖然受到讚譽，但並沒有被數學史家真正理解，數學史中很難找出另一部像克萊因那樣“回到根源”的著作，在此我們僅能舉出一例，這項研究不是由數學史家，而是由一位哲學家拉克特曼（David R。 Lachterman）做出的。

拉克特曼在《幾何學的倫理：現代性的一種譜系》（The Ethics of Geometry： A Genealogy of Modernity， 1989）中考察幾何作圖在希臘幾何學與笛卡爾的幾何學中的意義，揭露了一種難以察覺的輝格解釋。這種解釋也肇始於措伊滕，將希臘幾何作圖稱為“構造”，並理解為幾何物件的存在性證明。拉克特曼論證說，這種解釋是康德式的現代觀念的產物，在整個古典思想中從未有過實存意義上的“存在性”問題，更重要的是，在希臘人那裡，幾何作圖從未被看成一種構造。作為一門知識（episteme）的希臘幾何學並不像技藝（techne）那樣同製作、製造（poiesis）結盟，而是跟實踐智慧（phronesis）相關聯，這種關聯性體現在教學活動中。幾何學作為一種mathesis，即可以學、可以教的東西，只有在教學活動中才能實現自身；幾何證明（apodeixis）就其原意而言是一種展示，是教師向學生展示某物，因此必須在教學對話中展開。實踐智慧的意思是根據目的明智地選擇恰當的手段，幾何學的實踐智慧就在於為了教學對話能夠順利展開而選擇恰當的用詞，這在《原本》中有充分體現。歐幾里得敘述作圖步驟時總是刻意將特定的動詞用於特定型別的圖形，這表明圖形的樣子或形式（eidos），即圖形的本性，是先於作圖的，學生必須在看到作圖結果之前已經對這種本性有所熟悉，才有可能學習幾何學，幾何教學就是教師透過表演作圖去喚起這種潛在的理解，將它實現為知識。在這裡，幾何作圖的意義只是展示、現出（apodeixis）圖形固有的本性，使之成為可學的東西，而不是在構造出圖形的本質或存在［Lachterman 1989， pp。 54–61， pp。 121–122］。教師必須充分熟悉幾何學的傳統，熟悉過去和同時代幾何學家的工作，才能擁有實踐智慧，懂得如何恰當地敘述作圖。所有這一切在以笛卡爾為代表的近代數學家那裡都被顛覆了。在笛卡爾看來，教師、權威、傳統、實踐智慧都是可疑的，最多隻具有輔助作用，最根本的是掌握一套“指導心靈的規則”，憑藉自己內心的“自然之光”即可獲得全部知識，於是數學變成了一門技藝，數學證明變成了個體心靈的思想運動［笛卡爾1991，頁1–14］。相應地，幾何作圖變成了一種構造，笛卡爾的《幾何》就是企圖用簡單的運動逐次構造出一切幾何曲線，從而達到“解決一切幾何問題”的目的，他的曲線不再具有可預先熟悉的本性，作為本性的形式（eidos）已被抽象的符號方程取代，方程僅僅是對曲線的生成過程的潛在表達，曲線的個體性最終要依賴於心靈的構造性力量來實現［Lachterman 1989， pp。 197–200］。這種構造性力量，在拉克特曼看來，正是現代性的標誌，它最終在康德的工作中徹底展開，心靈構造自身，並透過構造將自身外化，去掌控作為他者的自然，使人成為自身的創造者和為自然立法的主宰［Lachterman 1989， pp。 1–24］。拉克特曼的工作不但展現了數學史作為一門思想史的可能性，也充分顯示了數學史所能達到的思想深度。

除了借鑑克萊因和拉克特曼的工作之外，數學史還可以向科學思想史學習。我們不應忘記，庫恩一代科學史家深受科學思想史家柯瓦雷（Alexandre Koyré）的影響，正是柯瓦雷的科學思想史工作促使科學史家認識到自己的自然態度，從而轉向一種歷史的態度［雷東迪2010，頁60］。然而數學史卻未能同樣地受益於科學思想史，一個可能的原因是，科學思想史在八十年代似乎已經不太流行，尤其是在科學史越來越多地引入社會因素的情況下，柯瓦雷的研究進路往往被視為單純的內史，甚至被批評為帶有輝格傾向。但是從根本上說，把柯瓦雷的研究稱為內史真的合適嗎？假如“內”的意思是指學科的內部，有哪一種物理學的內部史會像柯瓦雷那樣不厭其煩地考察神學上的爭論呢？假如“內”、“外”的劃分是指一切思想的東西都是內在於心靈的，而社會的東西則外在於個人，那又跟心理主義毫無二致了。對照克萊因的“意向歷史”，我們會看到，柯瓦雷的研究實際上與克萊因的主張十分相似，這不僅體現在他對文字分析的強調，也體現在他的研究意圖上：《伽利略研究》（tudes galiléennes）的目的不是確認從衝力物理學到慣性定律的概念演化路線，《從封閉世界到無限宇宙》（From the Closed World to the Infinite Universe）也不是為了建立從庫薩的尼古拉到牛頓的觀念承繼鏈條，這兩部著作都是為了揭示科學革命作為一種思想嬗變的真正意義，將現代科學的思想根源揭示為秩序宇宙（cosmos）的解體和空間的幾何化。這裡的關鍵不在於柯瓦雷將歷史發展描述為連續還是斷裂，而在於他已經跳出了“發展”的概念，致力於克萊因說的“揭示根源”的任務，這已經超越了一般意義上的內史與外史，超越了輝格史。數學史應該繼承這一豐富的思想資源。柯瓦雷和其他科學思想史家已經將科學革命的意義揭示為質的量化、空間的幾何化，數學史完全可以延續他們的工作，去考察數量、空間等概念在近代早期的起源，揭示其中更深層的意義。

為了從更廣泛的意義上理解思想史，我們還可以對克萊因的“意向歷史”作一點補充。在他總結的三個步驟中，後兩個步驟放在語言和文字上的理由是，它們使原初的明見性成為可以在不同主體間傳達的東西。循著這一思路，我們可以不必把問題限定在語言和文字上，一切可以稱為媒介的東西，諸如用具、儀器、社會建制、藝術、技術等，也都可以作為傳達意義構成物的中介和意義沉積的場所，從而都可以成為意向歷史分析的內容。由此我們可以不必將SSK這樣的研究看成科學思想史進路的反面，而可以看成是科學思想史的延續和拓展。在這種擴充套件的視野下，我們將擁有更多的思想資源來幫助數學史成為一門思想史，數學史不但可以跟科學思想史建立良好的互動，還可以跟政治思想史乃至技術史、藝術史銜接，從技術哲學、政治哲學獲得啟發。依靠這些思想資源，數學史將能夠沿著克萊因開闢的道路更進一步地去揭示現代思想的根源，幫助我們更好地認識自己。

“認識你自己”，這是柏拉圖賦予數學教育的重要任務之一，數學是修習倫理學和政治學的必要前奏，一個人只有經過數學上升到理念世界，才能充分認識自己，從而成為一個在城邦政治生活中發揮應有積極作用的公民。中世紀大學也繼承了數學作為人文教育的傳統。現代數學教育卻遺棄了這種“認識自身”的任務，數學史應該義不容辭地把它接過來，這是數學史家不可迴避的使命。

原標題：《數學史：從輝格史到思想史》