對於盲目的船來說，所有的風向都是逆風

我們的生活就像旅行，理想是導航；沒有導航，一切都會停止，目標會喪失，力量也會化為烏有。——歌德

伊莎多拉·鄧肯是現代舞蹈的先驅，更是人們心中的“赤腳女神”。但她的童年卻是灰色的，父母離異，家境貧寒，10歲的她就被迫輟學。

在輟學後，她每天都會到離家數十英里遠的奧克蘭公共圖書館去閱讀狄更斯、莎士比亞、薩克萊等人的作品。到了晚上，她會點著蠟燭，繼續看白天借來的書，而且直到凌晨蠟燭燃盡才肯罷休。

雖然家境貧寒，但她始終沒有放棄過自己的夢想——成為一名芭蕾舞蹈家。為了實現這一夢想，她帶著奶奶去世前流下的幾顆舊鑽石和僅有的25美元來到了芝加哥。但是，在那裡她並沒有找到合適的工作，身上的錢很快就用光了。

後來在芝加哥實在是看不到什麼前途，她便決定去紐約尋求發展。然而，如何去紐約就成了當時的首要問題，因為她沒有錢支付路費。於是，她來到了一家劇院老闆下榻的酒店推銷自己，在門口一連等了幾天。在好不容易等到劇院老闆之後，伊莎多拉對他說：“我可以給您提供一項建議。我發明了一種新式舞蹈，是2000年前失落的藝術。我認為，您是最出色的舞臺藝術家，但是您的舞臺上還是缺少了一樣東西，那就是舞蹈藝術。而我，正好可以為您提供這種藝術。”

說這段話的時候，她的言行舉止一直透出一股自信和熱忱，很難想象，此時的她實際上只是個飢腸轆轆、身無分文的可憐姑娘。

最終，她的真誠打動了這位劇院老闆，如願以償地當上了一位啞劇演員，並跟隨劇團到紐約演出。儘管她歷經千辛萬苦到了紐約，但在這裡她還是未能實現夢想。

於是，她再次輾轉，乘坐一艘載滿牲畜的船去了法國。在那裡，她幾乎每天都會到盧浮宮博物館等地欣賞各類藝術作品，培養自己的藝術靈感，為實現夢想作準備。是的，上帝總會眷顧那些懷有夢想的人，在巴黎伊莎多拉·鄧肯終於成功拉開了她舞蹈夢想的序幕。

有位名人曾經說過：“對於盲目的船來說，所有的風向都是逆風。”而且還有一句話：“如果你有一個目標，那麼整個世界都會為你讓路。”是的，如果我們把人生或學業專注地鎖定在“一個”明確的方向上，那麼，你的人生可能就會更精彩，你的學業可能就會更成功。

我學習數學也如此，要又目標，要講究方法測量。

三角形在平面圖形中是最簡單的也是最基本的多邊形，一切多邊形都可分割成若干個三角形，並藉助三角形來推導有關的性質，所以掌握三角形的特徵是很重要的。學好這部分內容，不僅為學習其他多邊形積累了知識經驗，還可以為進一步學習三角形的有關知識打下了良好基礎。

考點1

　三角形的分類

考點2

　三角形的邊、角關係

3．三角形的三邊關係：三角形任意兩邊的和大於第三邊，任意兩邊的差小於第三邊．

如圖，a＋b>c，|a－b|

【溫馨提示】判斷構成三角形的條件：已知三條線段長，只要較短兩條線段長度的和大於第三條線段的長度，即可判定其能構成三角形；已知兩邊和第三邊給定範圍求三角形周長時，一定要利用三邊關係先判斷是否能構成三角形，再計算．

4．三角形內角和定理：三角形的內角和等於180°。

5．三角形內外角關係：三角形的一個外角等於與它不相鄰的兩個內角之和；三角形的一個外角大於與它不相鄰的任意一個內角．

6．三角形的穩定性：三角形的穩定性是其特有的性質，只要三角形的三邊長度固定，其形狀和大小就固定不變了．三角形的穩定性在生活中有廣泛的應用，如橋樑、起重機、人字形屋頂等．

考點3

　三角形中的重要線段

幾何模型1：8字模型

1。找模型

因為這個圖形像數字8，所以我們往往把這個模型稱為8字模型。兩條相交的線段構成舍對項角的兩個三角形，簡稱“有交點，想8字”

2。用模型

“8字”型的實質是利用三角形內角和定理進行角度轉化來解題，模型往往在幾何綜合題目中推導角度時用到。

拓展延伸

角度和相等，是解決角度轉化的重要思想。“8字”型雖筒單，但往往在幾何綜合題中推導角度時用到。

幾何模型2：“燕尾”型

怎麼用？

1。找模型

遇到凹四邊形的角度問題，考慮用“蒸尾”型基礎模型；

2。用模型

透過“燕尾”型把“凹”的角轉換成三個內角之和

3。巧學巧記

簡記：“凹角等於凸角之和”。

怎麼用？

1。找模型

遇到共邊的兩個三角形的面積相關問題，考廊用“燕尾型基礎模型2

2。用模型

透過模型將面積問題轉化為邊的問題

3。滿分技法

燕尾相鄰的兩個三角形共底不等高，常根據三角形的面積公式“1/2×底×高”可推導“共底不等高”的三角形的面積比即為對應高的比。

幾何模型3：雙角平分線模型

典型問題

例1．（2022中山市二模）若長度分別是2，3，a的三條線段能組成一個三角形，則a的取值不可能是（）

A．1 B．2 C．3 D．4

【解答】

：由三角形三邊關係定理得：3﹣2＜a＜3+2，即1＜a＜5，

即符合的整數a的值可以是2，3，4，不可能是1．故選：A．

變式1．（2022春東臺市期中）一個三角形的兩邊長分別為2和5，且第三邊長為整數，這樣的三角形的周長最大值是（）

A．10 B．11 C．12 D．13

【解答】

：設第三邊為a，

根據三角形的三邊關係，得：5﹣2＜a＜5+2，即3＜a＜7，

∵a為整數，∴a的最大值為6，

則三角形的最大周長為6+2+5＝13．故選：D．

變式2。（2022春碑林區校級期中）兩根木棒的長分別為5cm和7cm，要選擇第三根木棒，將它們釘成一個三角形．如果第三根木棒長為偶數，則滿足條件的三角形的個數為（）

A．3個 B．4個 C．5個 D．6個

【解答】

：設第三根木棒的長度為xcm，

由三角形三邊關係可得7﹣5＜x＜7+5，即2＜x＜12，

又x為偶數，∴x的值為4，6，8，10，共四種，故選：B．

變式3．（2022春沙坪壩區校級期中）已知三角形的三邊長為4、x、11，化簡|x﹣5|+|x﹣16|＝

．

【解答】

：∵三角形的三邊長分別是4、x、11，

∴7＜x＜15，∴x﹣5＞0，x﹣16＜0，

∴|x﹣5|+|x﹣13|＝x﹣5+16﹣x＝11，

故答案為：11．

變式4．（2022春秦淮區期中）如圖，用四顆螺絲將不能彎曲的木條圍成一個木框，不計螺絲大小，其中相鄰兩顆螺絲的距離依次為3、4、6、8，且相鄰兩根木條的夾角均可以調整，若調整木條的夾角時不破壞此木框，則任意兩顆螺絲的距離的最大值是（）

A．7 B．10 C．11 D．14

【解析】分四種情況、根據三角形的三邊關係解答即可．

①選3+4、6、8作為三角形，則三邊長為7、6、8；7﹣6＜8＜7+6，能構成三角形，此時兩個螺絲間的最長距離為8；

②選6+4、3、8作為三角形，則三邊長為10、3、8；8﹣3＜10＜8+3，能構成三角形，此時兩個螺絲間的最大距離為10；

③選3+8、4、6作為三角形，則三邊長為111、4、6；4+6＜11，不能構成三角形，此種情況不成立；

④選6+8、3、4作為三角形，則三邊長為14、3、4；而3+4＜14，不能構成三角形，此種情況不成立；

綜上所述，任兩螺絲的距離之最大值為10，故選：B．

例2．（2022春玄武區校級期中）將兩張三角形紙片如圖擺放，量得∠1+∠2+∠3+∠4＝220°，則∠5的度數為（）

A．30° B．40° C．45° D．50°

【解答】

：如圖，在△ADE中，

∵∠A+∠1+∠2＝180°，

∴∠A＝180°﹣（∠1+∠2），

在△BMN中，∵∠B+∠3+∠4＝180°，

∴∠B＝180°﹣（∠3+∠4），

在△ABC中，∵∠A+∠B+∠C＝180°，

∴180°﹣（∠1+∠2）+180°﹣（∠3+∠4）+∠5＝180°，

∴∠5＝（∠1+∠2+∠3+∠4）﹣180°，

∵∠1+∠2+∠3+∠4＝220°，

∴∠5＝220°﹣180°＝40°，故選：B．

變式1．（2022川匯區一模）如圖，一副直角三角板如圖所示擺放，∠A＝30°，∠E＝45°，∠C＝∠FDE＝90°．頂點D在AC邊上，且EF∥AB，則∠CDF的度數是（）

A．10° B．15° C．20° D．25°

【解答】：延長AC，EF交於點G，如圖，

∵EF∥AB，∠A＝30°，

∴∠AGE＝∠A＝30°，

∵∠E＝45°，∠C＝∠FDE＝90°，

∴∠DFG＝∠E+∠FDE＝135°，

∴∠CDF＝180°﹣∠FDE﹣∠AGE＝15°．故選：B．

變式2．（2022春建湖縣期中）如圖，某位同學將一副三角板隨意擺放在桌上，則圖中∠1+∠2的度數是（）

A．75° B．80° C．90° D．105°

【解答】

：如圖，由題意得：∠A＝90°，

∵∠ABC＝∠1，∠ACB＝∠2，

∴∠1+∠2＝∠ABC+∠ACB，

在△ABC中，∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，

∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝90°，

即∠1+∠2＝90°．故選：C．

變式3．（2022武安市一模）如圖是工人正在加工的一個工藝品的一個面，經過測量不符合標準．標準要求是：∠EFD＝120°，且∠A，∠B，∠E保持不變．為了達到標準，工人可以將圖中∠D

（選填“增大”或“減小”）

度．

【解答】：如圖，延長EF交CD於點M，

∵∠A＝70°，∠B＝50°，

∴∠ACB＝60°，∴∠MCE＝∠ACB＝60°，

∵∠E＝40°，∴∠EMD＝∠E+∠MCE＝100°，

∵標準要求：∠EFD＝120°，

又∵∠EFD＝∠EMD+∠D，

∴在標準要求下，∠D＝20°，

∵原來的∠D＝35°，∴∠D減小15°，

故答案為：減小；15．

變式4．（2022春秦淮區期中）如圖，在△CFF中，∠E＝80°，∠F＝60°，AB∥CF，AD∥CE，連線BC、CD，則∠A的度數是

°．

【解答】

：延長FC交AD於點G．

∵∠E＝80°，∠F＝60°，

∴∠FCE＝180°﹣∠E﹣∠F

＝180°﹣80°﹣60°＝40°．

∵AB∥CF，AD∥CE

∴∠A＝∠FGD，∠FCE＝∠FGD．

∴∠A＝∠FCE＝40°．故答案為：40．

例3．（2022春泗陽縣期中）如圖，已知D、E分別是△ABC的邊BC、AC的中點，AG是△ABE的中線，連線BE、AD、GD，若△ABC的面積為40，則陰影部分△ADG的面積為（）

A．10 B．5 C．8 D．4

例4．（2022春江陰市校級月考）如圖1，已知線段AB、CD相交於點O，連線AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．試解答下列問題：

（1）在圖1中，請直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數量關係：

；

（2）如圖2，在圖1的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交於點P，並且與CD、AB分別相交於M、N．請直接利用（1）中的結論，完成下列各題：

①仔細觀察，在圖2中“8字形”的個數：

個；

②若∠D＝40°，∠B＝50°，試求∠P的度數；

③若∠D和∠B為任意角，其他條件不變，試問∠P與∠D、∠B之間是否存在一定的數量關係？若存在，請寫出推理過程；若不存在，請說明理由；

④若∠D和∠B為任意角，∠DAB＝3∠2，∠DCB＝3∠4，試問∠P與∠D、∠B之間是否存在一定的數量關係？若存在，請直接寫出結論；若不存在，請說明理由．

【解答】

：（1）∵∠A+∠D＝180°﹣∠AOD，∠B+∠C＝180°﹣∠COB，且∠AOD＝∠COB，∴∠A+∠D＝∠B+∠C；

故答案為∠A+∠D＝∠B+∠C；

（2）①以M為交點的有1個，為△AMD和△CMP，

以O為交點的有4個，為△AOD和△BOC，△AOD和△CON，△AOM和△BOC，△AOM和△CON，

以N為交點的有1個，為△ANP和△BNC，

故答案為6個；

②∵AP平分∠DAB，CP平分∠BCD，

∴2∠1＝∠OAD，2∠3＝∠OCB，

由（1）中的結論得：∠1+∠D＝∠3+∠P，2∠1+∠D＝2∠3+∠B，

整理得：∠B+∠D＝2∠P，

③：∠B+∠D＝2∠P，理由如下：

∵AP平分∠DAB，CP平分∠BCD，

∴2∠1＝∠OAD，2∠3＝∠OCB，

由（1）中的結論得：∠1+∠D＝∠3+∠P，2∠1+∠D＝2∠3+∠B，

整理得：∠B+∠D＝2∠P；

④2∠B+∠D＝3∠P，理由如下：

由（1）中結論得：

∠2+∠P＝∠4+∠B，

3∠2+∠D＝3∠4+∠B，

整理得：2∠B+∠D＝3∠P．

例5．（2020春如東縣期末）探究與發現：如圖1所示的圖形，像我們常見的學習用品﹣﹣圓規．我們不妨把這樣圖形叫做“規形圖”，

（1）觀察“規形圖”，試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關係，並說明理由；

（2）請你直接利用以上結論，解決以下三個問題：

①如圖2，把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經過

點B、C，∠A＝54°，則∠ABX+∠ACX＝

°；

②如圖3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝α，∠DBE＝β，請直接寫出∠DCE的度數

（用含α和β的式子表示）；