我們能造出莫比烏斯環，卻無法造出克萊因瓶，真正的原因是什麼?
在拓撲學當中有許多神奇的圖形，其中最特別的，應該就是
莫比烏斯環和克萊因瓶
了。都是正反難分的代表，但偏偏前者我們可以很輕鬆地造出來，後者卻如何努力都無法創造。
這究竟是為什麼呢？
莫比烏斯環和克萊因瓶
首先我們先來看看大家比較熟悉的莫比烏斯環，如今現在市面上其實有不少它的衍生產物，比如說“莫比烏斯環戒指”。
莫比烏斯環，別稱也叫
莫比烏斯帶
，是由約翰·李斯丁和莫比烏斯在1858年發現的。
當時他們利用普通的紙條進行實驗，發現
將紙條扭轉180°之後，再將其兩個接頭處粘合在一起，就能夠獲得一個奇怪的“紙環”。
為什麼說這個紙環奇怪呢，是因為
它只有一個單側曲面
，在這種情況下，如果將一隻螞蟻放在紙環上，並且讓其在上面爬行，這隻螞蟻就可以不跨過任何的邊緣，涉足紙環的所有地方。
值得一提的是，在後續的研究當中，人們還發現，並不是只能將紙條旋轉180°，如果你樂意，轉540°甚至900°，得到的產物依舊是“莫比烏斯環”。
因此對於莫比烏斯環，人們一直很感興趣，認為它不止與數學有關，與物理學之類的也有密切的關係。在他們看來，這種處在三維歐幾里得空間中的怪圈，實際上是一種
二維單面環狀結構
，而我們或許可以依靠它來預測三維空間的某些結構。
簡單來說，如果哪天我們也走在一個像莫比烏斯環一樣的公路上，那麼可能永遠都走不到盡頭。因為它本身就是一個迴圈，在其中的我們會和螞蟻一樣，迷失方向，無法辨別起點和終點。
其次再來看看
克萊因瓶
，相較於在不少地方都能見到的莫比烏斯環，克萊因瓶似乎有些冷門。不過，在拓撲學當中，它的地位還是很高的，甚至有某些人認為，
克萊因瓶才是代表著“未來”的東西。
克萊因瓶也叫
克萊因壺
，是德國幾何學家菲利克斯·克萊因發現的。它的發現時間要比莫比烏斯環晚一些，大概是1882年。單從這個瓶子的外形來看，根本沒什麼稀奇，就只是形狀比較詭異而已。
這是因為我們現在看到的克萊因瓶，根本算不上是它的真身，
真正的克萊因瓶是不分“內外”的。
並且，我們現在看到的那個插入瓶身當中的瓶頸，其實在拓撲圖形中並沒有這樣“相交”。
準確來說，
這個瓶頸是透過第四個維度，來與瓶底實現相連的。
這就意味著，進入其中的生物不需要飛越，便可以直接在內外表面反覆橫跳。
對此大家可能感到無法理解，那我們就用常見的球狀物體進行舉例。如果我們把一隻螞蟻放在圓球的內部，就會發現它只能在內表面中爬行。想爬出來，除非利用口器將這個球咬出一個小洞，然後鑽出來。
可是克萊因瓶當中的螞蟻就沒有這種煩惱，在其表面不會終結的情況下，
只要位於其中就能夠隨意涉足外表面和內表面。
從某種角度上來說，這似乎也像莫比烏斯環上的蟲子一樣陷入了“無限迴圈”。
其實從兩位數學家對它們的發現歷程，以及論證時所用的說法，就能看出前者是可以直接用實物扭出一個模型，後者雖能夠造出來但是本質上卻不是理論裡的那個東西。
那麼，到底是什麼原因導致了這種情況呢？
為什麼克萊因瓶沒辦法被造出來？
從表面上來看，二者都是人們利用神奇的幾何創造出來的東西。但是從實質上來說，二者涉及的維度確實有巨大差別的，
如果說莫比烏斯環體現的是從二維向三維的跨越，那麼克萊因瓶體現的就是從三維向四維的跨越。
很顯然，我們現在看到的世界是三維的，所以想創造莫比烏斯環是易如反掌的事情，但是克萊因瓶就不行了，因為這傢伙涉及四維的東西。
畢竟
從目前的維度探索來看，人類對四維只有“抽象”的理解
。因此，我們在三維世界中造出的克萊因瓶怎麼可能看著不奇怪呢？
值得一提的是，就算真的有四維空間的生物將一個克萊因瓶帶到人類世界，並且向我們展示，我們可能也無法理解其中的“內涵”。
畢竟，在巨大的維度差距下，我們眼睛看到的依舊是三維世界的東西，大腦中產生的相關理解，也是以三維世界為基準的。這樣的話，根本無法體會真正克萊因瓶的神奇之處。
此外，倘若我們是屬於二維世界的生物，而在那裡也想出了神奇的莫比烏斯環理論。面對的其實將是和現在如出一轍的情況，因為這個看似一扭就搞定的紙環，在二維世界是無法被完美創造的。
在那裡，眼中只有“橫平豎直”的我們，終其一生也難以理解二維紙張如何變成了三維的紙環。
說到這兒，大家應該能理解為何這兩個東西一個可以被創造，一個卻不倫不類。
真正的原因就在於“
維度難以跨越
”，二維難以跨越到三維，所以那裡的“紙片人”造不出莫比烏斯環。三維無法跨越到四維，所以人們造不出克萊因瓶，甚至憑肉眼去看電腦建模，或者想象其真實的模樣，都沒有什麼可供發揮的空間。
從這種角度來說，大抵才算是真正的“降維打擊”吧！因為四維生物只需要利用維度之便，將人類所創造的三維產物進行變換，我們就能陷入內外不分的“死迴圈”當中。它們想將我們困死在哪裡，可能也就是動動手指的事情。
當然，不論怎樣，人類還是對跨越維度充滿期待的。所以即使克萊因瓶的製造存在諸多困難，人們也依舊在嘗試更進一步。它就像是我們開啟“四維空間”的一塊敲門磚，當我們將其真正造出來並直觀理解的時候，就說明人類真的具備“跨越維度”的能力了！
值得一提的是，在研究克萊因瓶時，人們也不忘關注代表從“二維變成三維”的莫比烏斯環，甚至讓它現實生活中得到了應用。
莫比烏斯環在生活中的應用
拋開那些仿照莫比烏斯環製造的裝飾品不說，莫比烏斯環對人類的科技發展其實是做出了不少貢獻的。比如在工業製造領域，就有不少
機械設計的傳送帶或者風扇
是仿照它來製造的。
資料顯示普通傳送帶有兩個面，只用到一面，而以莫比烏斯環做傳送帶，因它只有一面，使整條傳送帶環面各處均勻地承受磨損，避免了普通傳送帶單面受損的情況，使得其壽命延長了整整一倍，從而提高了利用效率。
除此之外，在許多的音樂磁帶當中，也有莫比烏斯環的身影。它的這種神奇結構，
能夠增加磁帶資訊的承載量
。相信在未來，莫比烏斯環會帶給我們更多的驚喜。