聚點的定義，它是區間套中的幽靈！

老黃一直認為，區間套中有一隻“幽靈”，那麼高等數學中是怎麼定義這隻幽靈的呢？它就是

聚點

的定義：

設S為數軸上的點集，ξ為定點. 若ξ的任何鄰域內都含有S中無窮多個點，則稱ξ為點集S的一個聚點.

雖然聚點被定義在點集上，但它其實也是一個區間套系列中，每個區間套所確定的數，也就是老黃之前的作品中一直強調的那隻“幽靈”。下面是一些點集的聚點例項：

比如，

點集S={(-1)n+ 1/n}有兩個聚點ξ1=-1, ξ2=1；

點集S={1/n}只有一個聚點ξ=0；

又S=(a,b)，則(a,b)內每一點以及端點a,b都是S的聚點；

開區間上每一個點，包括兩個端點，都是聚點，這是實數的稠密性決定的。

正整數集N+沒有聚點，任何有限數集也沒有聚點。

另外，極限都是聚點，你知道這是為什麼嗎？對於數列來說，假設數列an收斂於

ξ，

那麼由極限的鄰域充要條件可知，對ε>0， 在U（ξ，ε）上都有{an}的無窮多個點（幾乎所有點）， 由聚點的定義就可以知道ξ點列an的聚點。

對於函式極限來說，若lim（ x→x0 ）f（x）=A，由歸結原則可知，必然存在lim（n→∞）f（xn）=A， {xn}U+（x0）或{xn}U-（x0）， 由數列的極限是聚點就可以知道，A是{f（xn）}的聚點， 即A是f（x）的聚點。

但反過來說就不一定成立了。你不能說聚點就是極限。不過聚點又的確可以作為某些點列的極限，只不過你要指明這個點列才行。因此，一個聚點，就肯定存在兩個符合區間套定義的“端點數列”，使得這兩個數列的極限都是這個聚點。所以每個

聚點

都是一系列區間套中每一個區間套所確定的點。反過來，你又能說明區間套確定的點，即老黃一直強調的那隻幽靈，也是一個聚點嗎？

我們可以記區間套確定的點為ξ， 由區間套定理的推論可知對任給的ε>0，存在N>0，使得當n>N時有［an，bn］U（ξ； ε）。 即ξ的任何鄰域內都含有{［an，bn］}中無窮多個區間（點），∴ξ是{［an，bn］}的聚點。

你也可以把區間理解成一個點。把區間理解成一個點，這可能會有點令人費解，但這其實正是

聚點

的特殊之處。而如果你把

聚點

理解成一個普通的點，那肯定也是不準確的。老黃認為，它是有兩種狀態的，一種狀態是動態

的

點的狀態，類似於光的光子狀態。另外一種狀態就是區間的狀態，它是一個極小的區間，小到近似於一個點，類似於光的波弦的狀態。你對老黃的看法是否贊同呢？

為了強化對

聚點

的理解，我們再探究兩個問題：

1、

說明正整數集沒有聚點。

證：對任意正整數n,取ε0=1, 則在鄰域U(n, ε0)中，最多隻有n-1, n, n+1三個點,

∴n不是正整數集N+的聚點. 由n的任意性可知，正整數集N+沒有聚點.

2、

說明任何有限集都沒有聚點.

證：設S為有限集， ξ是它的聚點，由聚點的定義， ξ的任何鄰域內都含有S中無窮多個點，

即S是一個無限集，矛盾！∴任何有限集都沒有聚點.

我們可以這麼理解，只要

聚點

這個幽靈存在，它就肯定會有無數的分身，厲害吧！