一元與多元函式概述
01 引言
數學是從空間位置和數量關係兩方面對客觀世界進行描述的一門課。中學數學是研究常量間的關係，高等數學是研究變數的關係。變數間關係的本質就為函式關係，所以學習高等數學之前應該先從數量關係的角度回顧中學的數學。
02 從數量關係的角度回顧中學數學
在某變化過程中有兩個變數
x
和
y
，
對
x
的每一個值按照某種對應關係
，
總有確定
唯一的
y
與其
對應
，
則
稱
y
為
x
的函式
。
函
數
有
定義域、值域和
對應關係三要素。表示方法為解析式法
、
列表法和影象法。
依據
解析式列表找特殊點，用光滑曲線相連，成為函式的
圖
像，
由圖
像總結
出
性質
。
為一般函式學習的通用方法。
回顧
中學學過的函式可概括為四種特性。即有界性
、
單調性
、奇偶
性和週期性。對於這些性質採用
由
特殊
到
一般的方法進行學習。
為了構建一元
初
等函式的概念，先回顧了基本初等函式。在對原函式對映基礎上，建立了由
逆對映
所確定的反函式。反函式的求解方法為將
x
表示
y
換成
y
表示
x
，然後
x
和
y
互換就可得到反函式。
由
兩個或多個簡單函式可複合成一個複合函式。
複合函式
也是
自變數為
函式的函式。
複合函式的
合成
是
將中間變數層層
遞
代進去
，
即可得到複合函式。
複合
函式的分解是按從外到內依次尋找複雜
自
變數
，
分別將複雜
自
變數設成簡單的中間變數
，
即可將
複合函式
分解成簡單函式。
然後
對
基本
初
等函式
進行
四則運算
、
取反或
複合，
構成的可用解析式表示的一系列函式通
稱
為初等函式。
它
是大學數學的研究物件。
在初等函式基礎上，瞭解了分段函式，分段函式為對自變數不同取值範圍表示式不同的函式。分段函式的
極限、
連續性和可導性是我們後邊學習的一個
重點
。
在
一元
初等函式的基礎上，採用平行相似的方法可推廣出二元
初等
函式的概念。設
D
為一平面區域，對於平
面
區
域內
任意
一點
（
x
，
y
）
，
按照某種對應關係
，
總有唯一確定的
z
與其
對應
，則稱
z
為
x
和
y
的
二
元函式。
在二元函式的基礎上，最後瞭解一下常用的經濟函式。與小學利潤等於售價減進價類似。可平行相似的推廣出三大經濟函式。要發展生產
，
需投入一定的資金購買原材料和勞動力
，
從而得到總成本等於固定成本加可變成本
。生
產的產品拿到市場上去賣
，
利用銷量
乘以單
價可得到收入函式。收入函式減去成本函式即為利潤函式。
數學課
03 結論
上面透過回顧中學的
基本
初等函式
，得到了一元初等函式，又
平
行相似地推廣出
了二
元
初等函式。為繼續進行函式極限和連續性
的學習奠定
了堅實的基礎。
04 啟示
函式對應關係中的自變數廣義
化，
可
由
一個公式，得到
無數個
個公式，實現由中學到大學的飛躍。
根據解析式列表
找
點
、連點成圖，由圖
像總結出性質
。
為一般函式
性質
學習的通用方法。
聯絡中學的最簡單的函式，
採用
由
特殊
到
一般法學習
了
函式的性質
。
採用平行相似性，
由
小學的利潤等於售價減進價，平行推廣出利潤函式等於收入函式減去成本函式。