詳細解析p或q和p且q命題題型的解題過程

題型

題型如圖一，這是結合了一元二次方程的複合命題。即考察了一元二次方程的知識，也考察了複合命題的知識點，這些知識點都是需要我們掌握的。

圖一

題型解析

這裡p或q和p且q都是複合命題。

若p，q有一真或者全為真，則p或q就為真；p，q兩個全為假，p或q才為假；

若p，q有一假或者全為假，則p且q就為假；p，q全為真，p且q才為真。

所以從題中給出的p或q為真，則說明p和q中至少有一個是真命題；p且q為假，則說明p和q至少有一個是假命題。

所以可以推出：p和q中有一個是真命題，一個是假命題。誰是真命題，誰是假命題這裡不能判斷，所以要採用分步討論的方法來解答。

第一步

若p為真，則q為假。

①p為真，則方程x^2+mx+1=0有兩個不等負實根成立，則有△=m^2-4>0，解：m>2或者m<-2；如果該方程的兩個根為x1，x2的話，則有x1+x2=-m<0，解m>0。

上述取交集，即m>2。

②q為假，則方程4x^2+4（m-2）x+1=0有實數根，則有△=16（m-2）^2-16≥0，解m≥3或m≤1。

①②兩個取交集，因為p為真，q為假要同時成立。所以有m≥3。

第二步

若q為真，則p為假。

①q為真，則方程4x^2+4（m-2）x+1=0沒有實數根，則有△=16（m-2）^2-16<0，所以有

1<m<3

。

②p為假，則方程x^2+mx+1=0有兩個不等負實根不成立。

所以該方程可以是沒有實數根，也可以是有兩個相等的實數根，也可以是有兩個不等的正實根。

這裡要注意：沒有一個根為正，一個根為負的情況，因為兩根的乘積等於1，所以兩個根是同正或者同負的。

第一種情況，該方程沒有實根或者有兩個相等實根的情況，即△=m^2-4≤0，解

-2≤x≤2

。

第二種情況，該方程有兩個不等的正實根，設這兩個實根為x1，x2，即x1+x2=-m>0且△=m^2-4>0，解

m<-2

。

第一種情況和第二種情況都是成立的，所以取並集，即

m≤2

。

①②同樣取交集，因為他們要同時成立，所以有

1<m≤2。

得出實數m的取值範圍

第一步和第二步都是單獨成立的，兩種情況都符合題意，所以這兩步取並集。

所以m的取值範圍就是m≥3或1

總結

這道題大家很容易忽視給出的一個已知：兩個不等實數根是

負數，

同時這兩個實數根必須是

同號

的。所以在分析題的過程中，要看清每一個字，理解其本意。

當q為真，p為假時，取p的否命題時，注意分析全面，如果情況比較多時，仍然要運用分步討論的思想去解決，以免丟解漏解。

上述是分享關於複合命題的題型，希望大家喜歡，不喜歡不要踩，不要扼殺知識的傳播者，謝謝！

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