黃金比例的運用，尺規作圖作正五角星，求sin18°

一，八年級上冊數學課本上例題。

如圖，在△ABC中，AB=AC，點D在AC上，且BD=BC=AD。求△ABC各角的度數。

解：

按

解答數學題的一般步驟，設未知數、列等式、解方程。

∵AB=AC，BD=BC=AD，

∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD（等邊對等角）。

設

∠A=x，則∠BDC=∠A+∠ABD=2x，從而，∠ABC=∠C=∠BDC=2x。

於是在

△ABC中，有

∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，解得x=36°，

所以，在

△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°

評：

這題好像沒什麼特別，是吧？但有沒想到這三角形是很美很特別的三角形？

角的度數很巧妙，BC/AB=DC/AD，這比值又是黃金比例。

二，黃金分割數

我們常說一個人的身材比例很完美，大概符合，上身（腰以上）與下身的高度比，等於下身與全身的高度比。這個高度比是多少？

把問題一般化，

如圖，線上段

AB上找一個點C，把AB分成AC和CB兩段，其中AC為較小的一段，現要使AC∶CB=CB∶AB。

為簡單起見，設AB=1，CB=x，則AC=1－x。

代入AC∶CB=CB∶AB，

即（1－x）∶x=x∶1，

也即

x

+

x-1=0。

解方程，得x=（-1±√5）/2。

根據問題的實際意義，這比值是正數，取

x=(-1+√5)/2≈0.618,

這個值就是上面問題中所求的高度比，即

黃金分割數

。

如果把一條線段分為兩部分，使其中較長的一段與整個線段的比是黃金分割數，那麼較短的一段與較長的一段的比也是黃金分割數。

三，在正五角星中存在黃金分割數，

可以證明其中

MN/NB=BN/BM=BM/BE=MN/AN=

（-1+√5）/2，

（思考，怎樣證明上述比例符合黃金比例）

容易證明五邊形

MNIKJ為正五邊形，∠A=36°，△ANM與上文中的△ABC相似，足見正五角星的完美。

四，

求sin18°的值。

在初中數學知識範圍內，要求求解三角函式值的，一般都是特殊角，

30°、45°、60°，如sin30°=1/2，

怎麼求解sin18°呢？

顯然，可以利用上文

△ABC或正五角星中出現的36°，

在△ABC中，過點A做BC的垂線，交BC於點F，BC/AB=黃金分割數，

則假設BC=-1+√5，AB=2，

則BF=

（-1+√5）/2，

sin

∠BAF=sin18°=BF/AB=

（-1+√5）/4

。

五，按尺規作圖要求，作正五角星。

提示：勾股定理，作

√5；再參考上文內容，黃金比例數。