告訴你一個真實的四維空間

三維立體圖

愛因斯坦的時空觀曾讓人津津樂道，那是指用現實的三維空間再加上一根時間軸，形成一個永恆變化，即宇宙不斷膨脹的時空，主要用於解釋速度與時間的關係問題，但真正的歐氏（歐幾里得）四維空間卻不能這樣，那必須得滿足每一維的性質相同，而且可以相互轉換，才能形成一個真正的四維空間模型，要說清楚這一點，這就需要從現實的空間出發逐步給大家一個解釋。

在現實世界中，存在著多種空間，如零維空間，即一個點，所有圖形都濃縮到這個點內，它們的關係很簡單，即頂點一個，線段沒有，距離和麵積均為零。一維空間是指一根數軸，上面有點，有線段，存在距離。它上面的每一個點，都與每一個實數相對應，兩點之間的距離用兩個實數的絕對值表示，單位線段即長度為一的線段，有兩個頂點，一條稜，無面積。二維空間是指平面，透過任一點可以作兩條互相垂直的直線，形成一個直角座標系。在這個直角座標系內，有點有線段，也有面積。任一個正方形都有四個頂點，四條稜，一個面。一個正方形其實可以看成一條線段沿與它垂直的方向移動與線段長度相同的距離，這種形成高一維空間圖形的方法，我們稱為“空間擴充套件”，透過空間擴充套件，我們就可以把一個正方形沿它的垂直方向擴充套件為三維正方體，顯然頂點變成8個，稜有12條，面有6個。每一個正方體中，都相容有二維，一維和零維空間在其中。每個正方體又可以向二維方向進行投影，我們稱為“空間投影”，顯然空間擴充套件和空間投影是兩個相對的概念，也是一個互逆的過程。因此多維空間都是向下相容的。

四維空間就是在任一個點都能作四條互相垂直的直線，它們形成一個四維座標系，在這個系內，每一個點都有個四維座標，即由四位實數構成的座標。在四維空間裡，每一個圖形都包含有三維幾何體，它們由若干三維圖形合圍而成。如四維空間中的正方體，它可以由一個三維正方體向與它垂直的方向移動稜長的距離，它裡面顯然已有16個頂點，32條稜，24個面，8個三維正方體。在平面中畫出它的直觀圖如下，

四維空間中的正方體

在這個四維正方體中，中間縮小的正方體與外面的那個是一樣大的，只是直觀圖中變了大小、角度，平行關係不變，而外面那個正方體的內部是我們看到的外面，不會包含住其他幾個三維正方體。每個四維正方體可以向8個方向投影到三維空間中形成三維正方體。每一個三維正方體我們可以稱為四維正方體的“子體”，因此一個四維正方體包含有8個三維子體，正方形也可以看成是三維正方體的子體，子體的個數與維數有關，剛好是維數的兩倍，而頂點數是2的維數次方。

每個四維空間幾何體中，三維子體有體積，二維子體體積即為面積，一維體積是線段長，因此四維正方體的體積是稜長的四次方。它的每個三維子體空間相對封閉，但可以透過子體切割。直線可以穿越每一個空間，在每個空間中形成線段長，平面切割形成截面面積，正方體切割也會形成三維體積大小，以此類推，高維空間中的幾何體，都可以切割成低維圖形，形成不同形狀的幾何體。

對於四維正方體中的頂點數，稜數，面數，三維子體數，可以用一個公式聯絡起來，即（2+1）^n的二項展開式，其中n為維數，展開後各項值剛好與每種子體數對應。實際上，每一個空間中的簡單幾何體，都有這樣的規律，至於尤拉公式在三維空間中的應用只是這個公式的特例，即（2—1）^n的展開式，這一點估計尤拉本人也沒有想到，因此，以後計算各維正方體的子體個數，只需對應公式的第幾項即可，免得費神去數了。

透過空間擴充套件，我們可以繼續得到高維空間中的幾何體，對於高維空間幾何體的研究，歐幾里得幾乎沒有提及，也是今後數學者們研究的一個方向，至於裡面有哪些具體性質和規律，待後生努力去探尋，希望這篇文章能起到個拋磚引玉的作用，等待每一個有興趣或有志向的人開發總結，為人類的空間探索提供科學的指導與依據。

注：本人空間中的作品內容均為原創，轉發請註明出處，私自全部引用將追究版權責任。