乘除法的誕生，加減法的進化

我們繼續對那個不幸的盲眼老人的羊群進行統計：隨著不幸的盲眼老人認真看護，他的羊群越來愈多。當有一天他的羊群在一個山洞住不下來，於是，他在旁邊繼續開闢洞府安置他的羊群，一個洞府，兩個洞府……越來越多的洞府。這時，他的羊兒總共有多少隻呢？他總不能一個洞府一個洞府的羊兒數，那樣效率比較低。由於洞府大小一致，為了管理方便，他將所有洞府都安置相同數量的羊，比如說一個洞府23只，總共有8個洞府來安置他的羊群，那麼總數應該就是23+23+23+23+23+23+23+23=184。人們突然發現這樣算，很麻煩：尤其是這種相同數量相加的計算，費時又費力，還容易出錯。於是就規定了乘法運算：規定多個相同數相加時可以使用乘法運算：23X8表示有8個23相加，即23X8=184。

乘法運算是為了更方便的進行多個相同數相加的場景。那麼運算結果應該如何得出呢？簡單的一位數乘以一位數，我們可以使用加法計算出來。例如上述圖片中，4X6，應該怎麼計算呢？透過加法得出結果。那麼我們需要一個簡單的乘法口訣表來描述一位數與一位數相乘的結果：

當乘法的數字超過一位數時我們應該怎麼計算呢？例如老人的羊群：23X8。我們需要把乘法運算變成乘法口訣表裡的數字乘法，那樣就簡單了。如何操作呢？我們知道加法時使用豎式進行加法運算，可以更好的得出結果，那麼乘法應該怎麼使用呢？我們先計算個位：3X8=24。10位的數字也計算一下：2X8=16；那麼這兩個數字應該怎麼對齊計算最終結果呢？使用豎式來看看：

即得出一個結果：一個兩位數與一個一位數相乘時，需要使用這個兩位數的個位與十位分別與這個一位數相乘，然後再將結果相加，如上圖所示。兩位數與兩位數相乘，應該怎麼辦呢？我們依然使用豎式計算來看看：

即是，個位與個位相乘加上個位與十位相乘，再加十位與個位相乘以及十位與十位相乘的結果。

當這個不幸的盲眼老人孩子多了，而他的身體漸漸變老時，他需要將所有的羊分給所有的孩子，怎樣才能分的公平呢？那就是給老大一隻羊，就得給老二一隻羊，老三、老四、老五也是同樣的道理。那麼，就按照這樣，一隻一隻的分，很慢，也很麻煩。如何可以更好的分羊呢？老人想到一個辦法：我有8個山洞，每個山洞23只羊，那麼如果我有8個孩子，那我就不用分了，直接每人一個山洞，因為23X8=184，正好把羊分完，還不用動腦子。但目前只有5個孩子，那怎麼辦呢？這個不幸的盲眼老人還是很聰明的：我先個他們每人一個山洞，做減法，即是8-5=3。剩下的山洞還有多少羊呢？23X3=69。這樣分起來就簡單多了，得再想辦法減少需要汾陽的數量，在乘法口訣表裡找找看，有一個乘數是5，與剩餘羊的數量接近的是哪一個數字呢？最後找到是9；那麼9X5=45。還剩餘多少羊呢？剛才是69只，現在又分出去45只，那麼剩餘就是69-45=24。還有24只，再一次在乘法口訣表裡找找看，與2最接近並且還有一個乘數是5的是哪一個呢？5X5=25；少一隻4X5=20；那會多4只羊的，那現在來看看，每一個孩子分了多少隻羊？最開始沒人一個山洞23只，緊接著每人9只，加起來就是23+9=32。最後有每人分4只，就是32+4=36。剩餘4只羊。讓我們來回顧整個分羊的過程：

184-23X5-9X5-4X5=184-115-45-20=69-45-20=24-20=4；

整理一下：184-（23+9+4）X5=184-36X5=184-180=4

人們再一次規定，如果一個數與另一個數相乘得到第三個數；那麼第三個數除以第二個數就可以得到第一個數，即180÷5=36。從而可以看出，除法運算就是乘法運算的相反運算。當一個數去除以另一個數而無法除盡時，就像上述老人的羊，5個孩子分，左後剩餘4只羊。這時可以表述為：184除以5等於36餘4。數學表示式為：184÷5=36……4