相對論脈絡——從簡單的勾股定理中引申出最深奧的物理方程
阿爾伯特·愛因斯坦的
質能方程
源於他的相對論
，許多相對主義者高呼“一切都是相對的”。事實上，
愛因斯坦將他的理論命名為“相對論”，是因為它是對牛頓力學中的相對運動規則的修正。
在牛頓力學中，運動是相對的，並且依賴於參考系。但愛因斯坦意識到：
一些特定的物理現象根本不是相對的，而是絕對的
。由此，他發現了一種新的物理學，在這種物理學中，物體在快速移動時長度會收縮，時間會變慢，質量會無限制地增加。相對論讓我們對宇宙的起源和宇宙的結構有了迄今為止最好的理解。
相對論已被證實，並且得到了實際的應用。全球定位系統（GPS）只有考慮了相對論效應才能有效執行。同樣的道理也適用於粒子加速器，例如大型強子對撞機，它讓我們成功地發現了希格斯玻色子（質量起源的粒子）。現代通訊速度已經非常快了，但遇到一個限制——
光速
，任何資訊的傳遞都不能超過光速。
相對論包括狹義相對論和廣義相對論。狹義相對論研究的是沒有
引力
的空間、時間和物質；而廣義相對論考慮了引力。這兩個理論的靈感都來自於很難將牛頓物理學與觀測結果相協調。
在牛頓時代，物理學似乎相當簡單直觀。空間就是空間，時間就是時間，兩者永遠不會有聯絡。空間幾何是歐幾里得的幾何。時間是獨立於空間的，這一點對於所有的觀察者來說都是一樣的（
前提是他們已經同步了自己的時鐘
）。物體的質量和大小在它移動時不會改變，而時間在任何地方總是以相同的速度流逝。但是當愛因斯坦重新構建了物理學之後，
所有這些觀點被證明是錯誤的
。
牛頓對宇宙的描述是一個近似值，這個近似是極其準確的（只要物體的速度比光速慢很多）。那麼如果以光速或近光速運動會怎樣？物理學家已經證明了光是一種波，麥克斯韋的方程也證實了這一點。但是光的波動性面臨一個新問題。海浪是水裡的波，聲波是空氣中的波，地震是地球上的波，那麼光是哪裡的波？
從數學上講，它們是電磁場中的波，我們假定電磁場遍及整個空間。當電磁場被“激發”時，我們能觀察（探測）到電磁波。如果電磁場沒有被激發，它就像平靜的海面，安靜的空氣和地球，沒有波浪，沒有聲音，沒有地震。
物理學中所有已知的波都是有形的波，都需要有
介質
才能傳播。
所以物理學家們一開始認為存在某種支援電磁波的介質，稱它為“
以太
”。介質越堅硬，振動傳播越快，而光非常快，所以以太必須非常堅硬。由於我們並沒有看到或摸到以太，因此假設它沒有質量，沒有粘性，不可壓縮，並且對所有形式的輻射都是完全透明的。
幾乎所有的物理學家都假設以太的存在。此外，以太的存在原則上是可以被探測到的。因為光在真空中的速度是一個常數c，根據牛頓力學，我們不得不問這樣一個問題：相對於“什麼”速度是c？
如果在兩個不同的、相對運動的參照系中測量一個物體的速度，那麼會得到不同的答案。
光速不變性（光在任何參考系中的速度都是c）暗示了一個明顯的答案：
相對於以太
。
但這有點草率，因為兩個相對運動的參考系不可能同時相對於以太靜止。
對物理學家來說，找到一個特殊的參考系，就相當於找到了宇宙的中心，可以定義“絕對”的運動，其意義是極其重大的。直到麥克斯韋1879 年去世之前，他都非常關心能否確定地球絕對運動的問題。
地球在以太
中繞著太陽公轉，但
從地球上看就好像以太在沿相反方向移動，形成一種以太風。所以根據牛頓力學，光速應該在兩個極端之間變化：
c加上地球相對於以太的運動的貢獻，和c減去相同的貢獻
。在19世紀後期，人們進行了許多實驗以證明以太的存在，但結果都不確定。要麼沒有差異，要麼是實驗誤差。更糟的是，地球可能會拖著以太一起走。地球相對於以太的運動總是為零。
1887年，阿爾伯特·邁克爾遜和愛德華·莫雷進行了史上最著名的物理實驗之一。他們設計了一種儀器來探測光速在兩個方向上的微小變化。但地球相對於以太是在運動的，不可能以相同的
相對速度
在兩個不同的方向上運動，除非它碰巧沿著這兩條方向的等分線運動，在這種情況下，只需稍微旋轉一下儀器，然後再試一次。
實驗原理示意圖
這個儀器很小，使用一面半鍍銀的鏡子將光束分成兩部分，一部分穿過鏡子，另一部分以正確的角度反射。每一束光束沿著它的路徑被反射回來，然後兩束光束再次結合，以擊中探測器（E）。儀器經過調整，使兩個路徑長度相同。
最初的光束被設定為
相干
的，也就是說所有的波都有相同的相位和峰值。兩束光的
光速差
會導致它們的相位相對移動，因此它們的峰值會出現在不同的地方，進而導致兩束波之間的干涉，出現“衍射條紋”。地球相對於以太的運動會導致條紋移動，但這種影響是微小的：根據已知的地球相對於太陽的運動，衍射條紋將會移動大約一個條紋寬度的4%。透過多重反射，可以讓條紋移動增加到40%，這就足以被探測到了。為了避免地球恰好沿著這兩束光的平分線運動的巧合，邁克爾遜和莫雷將儀器漂浮在一桶水銀上，這樣它就可以輕鬆而快速地旋轉。這樣就可以觀察到條紋以同樣快的速度移動。
這是一個精細、準確的實驗。結果是完全意外的。條紋沒有移動40%的寬度，而且是一點都沒有移動。
這個結果不僅否定了以太，還威脅到了麥克斯韋的電磁學理論。這意味著，相對於移動的參照系，光並不以牛頓的方式運動。這個問題可以追溯到麥克斯韋方程的數學性質，以及它們（方程）是如何相對於運動座標系進行變換的。愛爾蘭物理學家喬治·菲茨傑拉德和荷蘭物理學家亨德里克·洛倫茨分別在1892年和1895年提出了一種大膽的猜想來解決這個問題，
如果一個運動的物體在其運動方向上稍稍收縮，收縮的幅度剛好合適，那麼邁克爾遜-莫雷實驗所希望檢測到的相位變化就會被光所經過的路徑長度的變化完全抵消。
洛倫茲證明，這個“洛倫茲-菲茨傑拉德收縮”也解決了麥克斯韋方程的數學難題。研究表明，包括光在內的電磁學實驗結果並不依賴於參照系的相對運動。龐加萊也一直在從事類似的研究。
1905年，愛因斯坦在一篇題為《論運動物體的電動力學》的論文中，發展並擴充套件了先前關於相對運動理論的猜想。他的研究在兩個方面超過了前人。他證明了相對運動的數學公式的必要改變不僅僅是一個解決電磁學問題的要求，也是所有物理定律的要求。因此，新的數學必須是對現實的真實描述，必須與實驗更加一致。這才是真正的物理學。
牛頓所使用的相對運動的觀點可以追溯到更早的伽利略。在他1632年的《關於兩個主要世界體系的對話》中，伽利略討論了一艘在完全平靜的海面上勻速航行的船，他認為甲板下進行的任何力學實驗都無法證明船在移動。這就是伽利略的相對論原理。在力學中，在兩個相對於對方以勻速運動的座標系中所作的觀測是沒有區別的。特別地，沒有所謂的“靜止”的特殊參照系。愛因斯坦的出發點是同樣的原理，但有一個額外的條件。
它必須不僅適用於力學，而且適用於所有物理定律
。
對愛因斯坦來說，邁克爾遜-莫雷實驗只是一個額外證據，
他的
新理論正確的證明
在於他的廣義相對論，
以及物理定律的數學結構。
愛因斯坦的“新理論”被稱為狹義相對論，因為它只適用於
慣性參照系
。根據狹義相對論，有三個重要的結論：如果一個參照系相對於另一個參照系勻速運動，那麼在該參照系中測量到的
長度沿著運動方向收縮
，
質量增加
，
時間變慢
。這三種效應由基本的能量和動量守恆定律聯絡在一起。
這些效應的公式用來描述一個座標系中的測量值與另一個座標系中的測量值之間的關係。簡單說，如果一個物體能以接近光速的速度運動，那麼它的長度就會變得非常小，它的時間會非常慢，它的質量會變得非常大。我簡單介紹一下這裡的數學。這一切都來自於勾股定理。科學中最古老的方程式會引出最新的方程式。
左圖：在宇航員的參考系中進行的實驗。右圖：同樣的實驗在地面觀測者的參考系中進行。
左圖從宇航員的視角顯示了光的路徑。對他們來說，光是筆直向上的。由於光以c的速度傳播，所以傳播的距離為cT。右圖顯示了從地面觀測者的視角來看光的路徑。宇宙飛船移動了一段距離，所以光沿著對角線移動。由於對地面觀測者來說，光的傳播速度也是c，所以對角線的長度為ct。根據勾股定理，
顯然，T＜t。
為了推導洛倫茲-菲茨傑拉德收縮，我們現在假設宇宙飛船以速度v飛行到距離x的行星，那麼經過的時間是t = x/v。但前面的公式表明，對於宇航員來說，所花費的時間是T，而不是t。對於他們來說，距離X必須滿足T = X/v。因此，
顯然，X＜x。
質量變化的推導要稍微複雜一些，它取決於對質量的特殊解釋（
靜止質量
），所以我就不詳細講了。這個公式是，
顯然，M＞m。
這些方程告訴我們，物體的速度有一個上限，那就是光速。
時空幾何的狹義相對論，最初是由赫爾曼·閔可夫斯基提出的。空間中一個點（x，y，z）與另一個點（X，Y，Z）之間的距離是，
取平方根得到d。閔可夫斯基時空有四個座標（x，y，z，t），三個空間加一個時間，一個點被稱為
事件（
一個在特定時間觀察到的空間位置
）
。距離公式非常相似：
距離d稱為間隔。只有當等式右邊為正時，平方根才為實數。
從數學角度理解因果關係和狹義相對論中最重要的間隔不變性定理
正如我們所看到的，物理學家之前做過實驗，明確地證明光是一種波，而麥克斯韋證明了光是一種電磁波。然而，到1905年，物理學家逐漸明白，儘管有足夠的證據證明光的波動性質，但在某些情況下，光的行為就像粒子一樣。在那一年，愛因斯坦用這個想法來解釋
光電效應
的一些特徵。他認為，只有當光以
離散
的形式出現時，實驗資料才能解釋得通。
這個令人困惑的發現是通向量子力學的關鍵步驟之一。奇怪的是，這個典型的量子力學思想對愛因斯坦的相對論公式至關重要。為了推匯出
質量與能量
的關係，愛因斯坦考慮了一個發射一對光子的裝置會發生什麼。為了簡化計算，他考慮一維空間的情況，讓裝置沿直線運動。其基本思想是考慮裝置在兩個不同的參考系中，一個參考系隨著裝置一起運動，所以裝置在那個參考系看起來是靜止的。另一個參考系相對於裝置以很小的，非零的速度運動。
愛因斯坦假設這兩個光子的能量相等，但發射方向相反。
它們的速度相等且相反，所以裝置的速度（在兩個參考系中）在光子發射時不會改變。
然後他計算了在裝置發射
光子對
之前和之後系統的能量。透過假設能量一定是守恆的，他得到了一個表示式，將由發射光子引起的系統能量的變化與其（相對論）質量的變化聯絡起來。其結果是：
合理地假設一個質量為零的物體能量為零，然後就得到了這個結論
這就是著名的質能方程，E表示能量，m表示質量。
除了計算之外，愛因斯坦還必須解釋它們的含義。他特別指出，在一個物體處於靜止狀態的座標系中，公式給出的能量應該被認為是它的“
內部
”能量，因為它是由亞原子粒子組成的，每個亞原子粒子都有自己的能量。在運動座標系中，還有動能。
愛因斯坦並不滿足於狹義相對論。它只是一個關於空間、時間、物質和電磁的統一理論，但它忽略了一個重要的成分。
引力
愛因斯坦認為“所有的物理定律”都必須滿足相對論。萬有引力定律當然應該是其中之一。但事實並非如此。牛頓的平方反比定律沒有在參照系之間正確地變換。所以愛因斯坦決定改變牛頓定律。
這花了他十年的時間。他的出發點是計算出相對論對“
在引力影響下自由運動的觀察者
”的影響，例如，在一個自由下落的電梯中。他得到了數學家馬塞爾格羅斯曼的幫助，格羅斯曼向他介紹了一個非常重要的數學領域——
微分幾何
。這是從
黎曼流形
概念發展而來的。
黎曼度規
可以寫成一個3 × 3的矩陣，這是一個
對稱張量
。一個義大利數學家學派，繼承了黎曼的思想並將其發展成為
張量微積分
。
從1912年起，愛因斯坦就確信，相對論引力理論的關鍵在於他要用
張量演算
來重新表述他的思想，但要在四維時空而不是三維空間中。黎曼幾何允許任意維度的存在，數學家們已經為愛因斯坦奠定了數學基礎。愛因斯坦最終推匯出了我們現在所說的
愛因斯坦場方程
，
這裡R，g和T是張量（
定義物理性質和根據微分幾何規則變換的量
），k是常數。下標是遍歷時空的四個座標，所以每個張量是一個4 × 4=16個不同的變數。它們都是對稱的，也就是說，當下標（miu和niu）被交換時它們不會改變，因此變數被減少到10個。所以這個公式包含了10個方程，這就是為什麼我們經常用複數來表示它們（比較麥克斯韋方程）。R是黎曼度規：
它定義了時空的形狀
。g是
裡
奇曲率張量
，它是對黎曼曲率的修正。T是
能量-動量張量
，它描述了這兩個基本量如何依賴於相關的時空事件的。1915年，愛因斯坦向普魯士科學院提交了他的方程式。他把他的新成果稱為
廣義相對論
。
我們可以用幾何的方法來解釋愛因斯坦的場方程。最基本的創新是，
引不是一種力，而是時空的曲率
。就像勾股定理定理適用於平面，但不適用於正或負彎曲的非歐幾里德空間一樣。
在沒有
引力
的情況下，時空
是
閔可夫斯基空間（
平坦的
）
。
引力通常的描述方法是去掉時間，並將空間的維度降低到2，並得到如下圖（左）所示的結果。閔可夫斯基空間的平面被扭曲了，這裡顯示的是一個實際的彎曲，產生了一個凹陷。在遠離恆星的地方，物質或光以直線的方式傳播。但是曲率導致路徑彎曲，似乎有某種來自恆星的力將物質吸引到它身上（沒有力，只有扭曲的時空）。然而，這個曲率的影象（左圖）使空間沿著一個額外的維度變形。另一種方法是畫一個由測地線、最短路徑組成的網格，根據彎曲度規等距分佈。它們在曲率較大的地方聚集在一起，如下圖（右）。
如果時空的曲率很小，那麼這個公式就會得出牛頓的萬有引力定律。比較兩種理論，愛因斯坦常數k為8πG/c^4，其中G為牛頓引力常數。這個常數將新理論與舊理論聯絡起來，並證明在大多數情況下，新理論與舊理論是一致的。即使在引力很大時，任何相對論的測試也都必須在實驗室之外進行，這涉及到了天文學。
因此，愛因斯坦開始尋找行星運動中無法解釋的特性，以及與牛頓不符的效應。他找到了一個可能合適的答案，
水星近日點的近動
。水星是離太陽最近的行星，受到最大的引力作用。如果愛因斯坦理論是正確的，水星處於一個高曲率的區域內。
水星的軌道非常接近橢圓，所以它軌道上的一些點比其他點更接近太陽。其中離太陽最近的被稱為
近日點
。這個近日點的確切位置已經被觀測了許多年，這其中有些有趣的現象，近日點緩慢地繞著太陽旋轉，這種效應稱為
歲差；
軌道橢圓的長軸正在緩慢地改變方向。這沒什麼，牛頓定律也預言了這一點，因為水星不是太陽系中唯一的行星，其他行星也在慢慢改變它的軌道。問題是牛頓的計算給出了錯誤的
進動速率，
軸旋轉得太快了。
在牛頓模型中，水星進動率的精度約為0。7%，與觀測值相比，這一數值相差很小，但足以引起法國天文學家勒維耶的注意。1846年，勒維耶分析了天王星軌道的不規則性，並預測了一顆當時還未被發現的行星——海王星，從而一舉成名。他希望能重現這一壯舉。他將水星近日點的近動解釋為某種未知行星的干擾。他做了計算，並預測存在一顆小行星（火神星），它比水星離太陽更近。
1915年，愛因斯坦用廣義相對論重新分析了行星的運動。透過一個簡單的計算，他得出了43弧秒的歲差值。牛頓計算預測的歲差值為每世紀5560弧秒，但實際觀測結果為5600弧秒，差值是40弧秒，所以每世紀大約有3弧秒歲差仍然無法解釋。
廣義相對論的另一個著名的天文學驗證是愛因斯坦關於太陽使光線彎曲的預測。牛頓的萬有引力定律也預測了這一點，但廣義相對論預測的彎曲量是它的兩倍。1919年的日全食期間，亞瑟·愛丁頓拍下了太陽周圍區域的恆星的照片。根據廣義相對論，當恆星的光線經過太陽附近時，會出現輕微的偏移。這種效應只有在日食時才會被注意到。愛丁頓證實了愛因斯坦的相對論。
到了20世紀60年代，對
射頻輻射
進行觀測已成為可能，這才確定光線的彎曲確實是牛頓預測的兩倍，與愛因斯坦預測的相符。
廣義相對論中最引人注目的預測出現在一個更大的尺度上——黑洞。
由於愛因斯坦的場方程包含十個變數，很難用數學公式表示出它的
顯式解
。因此需要對方程進行簡化，簡化方程的標準方法是引用
對稱性
。假設時空的初始條件是
球對稱
的。這樣就大大減少了變數的數量。1916年，德國天體物理學家卡爾·史瓦西對愛因斯坦的方程做了這樣的假設（球對稱），並設法用一個精確公式解出了方程，這個公式被稱為
史瓦西度規
。他的公式有一個奇怪的點：
奇點
。解在離中心一定距離處變成無窮大，這個距離叫做
史瓦西半徑
。起初，人們認為這個奇點是某種數學上的產物，它的物理意義也引起了相當大的爭議。我們現在把它解釋為
黑洞的視界
。
想象一顆巨大的恆星，其輻射無法抵消其引力場。恆星開始坍縮（密度變大），密度越大，這種效應就越強，所以坍縮的速度就越快。恆星的
逃逸速度
也在增加。史瓦西度規告訴我們，在某個階段，當逃逸速度等於光度時，就沒有東西能逃脫了，因為沒有東西能比光還快。恆星變成了一個黑洞，史瓦西半徑告訴我們，在黑洞視界的範圍內，沒有任何東西可以逃脫。
黑洞物理是極其複雜的，這裡無法展開。簡單地說，大多數宇宙學家現在都相信這個預測是正確的，宇宙中有無數的黑洞，而且至少有一個黑洞潛伏在銀河系的中心。
1917年，愛因斯坦將他的方程應用於整個宇宙，並假設了另一種對稱：
均勻性
。宇宙在空間和時間的所有點上看起來都應該是一樣的（
在足夠大的尺度上
）。那時，他已經修改了方程，加入了一個“宇宙常數”Λ，並釐定了常數k的含義。方程現在是這樣的，
方程的解讓人驚訝，宇宙會隨著時間的推移而收縮。這迫使愛因斯坦在方程中加上一個宇宙常數項，因為愛因斯坦相信宇宙是一個不變的、穩定的宇宙。1922年，亞歷山大·弗裡德曼發現了另一個方程，該方程預測宇宙會膨脹。它還預測了膨脹的速度。
1929年，美國天文學家埃德溫·哈勃和米爾頓·休馬森發現了宇宙正在膨脹的證據。
遙遠的星系正在遠離我們，從它們發出的光頻率的變化就可以看出，這就是著名的多普勒效應。
如果讓膨脹時間倒流，結果發現，在過去的某個時刻，整個宇宙本質上只是一個點。在那之前，它根本不存在。在那個最原始的時刻，空間和時間都出現在著名的大爆炸理論中。大爆炸理論是由法國數學家喬治·勒梅特於1927年提出的。1964年，當射電望遠鏡觀測到
宇宙微波背景輻射
時，其溫度與宇宙大爆炸模型相符，宇宙學家認為勒梅特是正確的。關於大爆炸理論是另一篇文章的內容了，會涉及到標準模型、暗物質、暗能量、膨脹理論甚至熱力學（彭羅斯）等。
撇開令人困惑的宇宙學領域不談，有更普通的方法（在人類的尺度上）來驗證相對論。狹義相對論可以在實驗室中測試，現代測量技術提供了精確的精度。如果不考慮相對論效應，像大型強子對撞機這樣的粒子加速器根本無法工作，因為在這些機器中的粒子的速度確實非常接近光速。廣義相對論的大多數測試仍然是天文學的，從引力透鏡到脈衝星動力學，而且精度很高。
