六西格瑪專案測量階段：機率與數理統計基礎

一、機率論基礎知識

許多決策都是在不確定的情況下做出的。例如，測量方法是否正確？過程能力能否達到要求？接收到的產品是否滿足預定的合格率要求？利用機率論可以解決這一系列問題，下面來明確機率的一些基本概念。

1.隨機試驗和隨機事件

在同一組條件下，對某事物或現象所進行的觀察或實驗稱為試驗，把觀察或實驗的結果稱為事件。廣義上講，從某一研究目的出發，對隨機現象進行觀察均稱為隨機試驗，但嚴格意義上的隨機試驗應該滿足三個條件：

（1）試驗可以在相同的條件下重複進行。

（2）試驗的所有可能結果是明確可知的，並且不止一個。

（3）每次試驗總是恰好出現這些可能結果中的一個，但試驗前不能肯定這次試驗會出現哪個結果。

隨機事件就是隨機試驗中可能出現也可能不出現的事件。特別地，每次隨機試驗一定出現的事件稱為必然事件，一定不會出現的事件稱為不可能事件。

2.事件間的關係與運算

（1）事件的包含與相等。

如果事件A出現一定導致事件B出現，則稱事件A包含於事件B，用記號ACB表示（見圖4——6）。例如，“電話交換臺一分鐘內接到的電話呼叫恰為指定次數”是一個隨機事件，可能是0，1，2，…。“接到呼叫2次”和“接到呼叫不超過5次”這兩個事件有明顯的關係，前者發生，後者一定發生，前者包含於後者，或者說後者包含了前者。如果ACB同時BCA，則稱事件A與事件B相等，用記號A=B表示。

（2）事件不相容。

事件A與事件B沒有共同的樣本點，則稱事件A與事件B不相容或稱事件A與事件B是互斥事件（見圖4—7）。例如，擲骰子時，出現1個點和出現2個點的結果不可能同時出現，即“出現1個點”和“出現2個點”是互斥事件。檢查一批產品，“恰有1件不合格品”和“恰有2件不合格品”是互斥事件。呼叫中心的客服人員“在5分鐘內接到過電話”和“在5分鐘內未接到電話”是互斥事件。

（3）事件的並。

由事件A與事件B中所有樣本點組成的新事件稱為事件A與事件B的並，記為AUB，是邏輯上“或”的關係（見圖4-8）。例如，在學校某一個班級內抽籤，A=“班幹部”，B=“女生”，則AUB=“班幹部或女生”；在電話交換臺，A=“接到呼叫1次”，B=“接到呼叫2次”，則AUB=“接到呼叫1次或2次”。

（4）事件的交。

由事件A與事件B中公共的樣本點組成的新事件稱為事件A與事件B的交，記為AOB或AB，是邏輯上“與”的關係（見圖4-9）。例如，在一個班級內抽籤，A=“班幹部”，B=“女生”，則AnB=“班幹部並且是女生”；在電話交換臺，A=“接到呼叫多於3次”，B=“接到呼叫少於5次”，則ANB=“接到呼叫4次”。

（5）事件的差

。

由在事件A中而不是在事件B中的樣本點組成的新事件稱為事件A對事件B的差，記為A-B（見圖4-10），同理可知B-A（見圖4-11）。仍以在一個班級內抽籤為例，A=“班幹部”，B=“女生”，則A-B=“班幹部但不是女生”；B-A=“女生但不是班幹部”。在電話交換臺，A=“接到呼叫多於3次”，B=“接到呼叫少於5次”，則A-B=“接到呼叫多於4次”，B-A=“接到呼叫少於4次”。

（6）對立事件。

假設所有的事件構成樣本空間為Q，在Q中而不在事件A中的樣本點組成的事件稱為事件A的對立事件，記為A（見圖4—12）。例如，檢查布匹時，事件A“至少有1個疵點”的對立事件A是“沒有疵點”。

3．機率

機率是對一個事件發生的可能性大小的度量，表示事件A發生可能性的數值P（A）稱為事件A的機率。拋擲一枚質地均勻的硬幣，“正面朝上”與“背面朝上”的可能性各為1/2。拋擲骰子時，“恰為6點”的可能性為1/6。機率是一個介於0～1的數，機率越大，事件發生的可能性越大；機率越小，事件發生的可能性越小。不可能事件的機率為0，必然事件的機率為1。

4.機率的性質和運演算法則

機率具有以下基本性質。

性質1：

對任一隨機事件A，有0≤P（A）≤1。

不可能事件的機率為0，必然事件的機率為1，即P（）=0，P（Q）=1。例如拋擲骰子時，出現任何點數的機率p都是一個大於0小於1的正數。

性質2：

事件A的對立事件為A，有P（A）+P（A）=1。

例如，拋擲骰子，事件A=“出現點數3”，則A=“不出現點數3”，所以P（A）+P（A）=1，它表示拋擲骰子時，出現的點數要麼是3要麼不是3。

性質3：

若AつB，則P（A-B）=P（A）-P（B）。

例如，拋擲骰子，事件A=“出現點數小於3”，事件B=“出現點數1”，則AつB，所以P（A-B）=P（A）-P（B）。

性質4：

加法法則。

事件A與事件B的並的機率為P（AUB）=P（A）+P（B）-P（AB）。當事件A與事件B不相容時，P（AB）=O，則P（AUB）=P（A）+P（B）。

例如，拋擲骰子，事件A=“出現點數小於5”，事件B=“出現點數大於3”，則AUB=“出現點數為1~6中的任意一個數”，事件AB=“出現點數4”，所以P（AUB=P（A）+P（B）-P（AB）=4/6+3/6-1/6=1。當事件A=“出現點數小於2”，事件B=“出現點數大於5”時，事件A和事件B不相容，即P（AB）=0，所以P（AUB）=P（A）+P（B）=1/6+1/6=2/6

此性質可推廣到多個兩兩互不相容的隨機事件A1，A2，…，An，則P（A1UA2U…UAn）=P（A1）+P（A2）+…+P（Am）

性質5：

乘法法則。

對任意兩個事件A與B，有P（AB）=P（B|A）P（A）=P（A|B）P（B），其中P（A|B）為事件B發生條件下事件A發生的條件機率，此時要求P（B）>0。

當兩個事件的發生互不影響，則稱這兩個事件相互獨立，即P（A|B）=P（A），P（B|A）=P（B），此時乘法原則簡化為：P（AB）=P（A）P（B）。

二、隨機變數及分佈

1.隨機變數

因此，隨機變數，即按照一定的機率取值的變數，通常用大寫字母X，Y，Z等表示，而隨機變數的取值通常用小寫字母x，y，z等表示。隨機變數通常具有以下兩個特徵：

（1）取值的隨機性，即事先不能確定X取哪個值。

（2）取值的統計規律性，即可確定X取某個數值或X在某一區間內取值的機率。

通常我們只研究兩類隨機變數：離散型隨機變數和連續型隨機變數。

2.離散型隨機變數和分佈

如果隨機變數X所有可取值集合只包括有限或可列個元素集合，則X為離散型隨機變數。如拋硬幣得到正或反面的次數、鑄件上的缺陷數等都是離散型隨機變數。其中：P（X=xi）=pi為離散型隨機變數X的機率函式。其分佈列表如下：

3.連續型隨機變數和分佈

如果隨機變數X能在一個數值區間內取任何值，則X為連續型隨機變數。如燈泡、電視機等電器的使用壽命等都是連續型隨機變數。對於連續型隨機變數，我們一般用機率密度函式來表示其分佈情況。假設

其中，隨機變數X小於或等於實數x的機率F（x）=P（X≤x），則有

F（x）又稱為累積分佈函式或分佈函式，如圖4-15陰影部分所示。

由於在計算面積時，直線的面積為0，即P（X=a）=0，所以有

指數分佈是一種常見的連續分佈，其機率密度函式為：

式中，A>0，為引數。在工程實踐中，不少產品首次發生故障的時間，或發生故障後需要維修的時間都服從指數分佈。

三、數學期望、均值及方差

均值（mean）、方差（variance）與標準差（standard deviation）均為描述資料分佈狀況的重要指標。均值用來表示分佈的中心位置，反映分佈的集中情況，用E（X）表示。均值的計算公式為：

很多情況下僅瞭解集中程度是不夠的，還必須瞭解隨機變數的離散特徵。我們通常使用方差度量分佈的離散程度，記方差為Var（X），其計算公式如下：

標準差σ是方差Var（X）的正平方根，與變數X具有相同的單位，也用來反映離散程度的大小，記為σ=σ（X）=Var（X）。

均值與方差具有以下性質：

（1）設X為隨機變數，a與b為任意實數，則有E（aX+b）=aE（X）+b，var（ax+b）= a2var（x）的值。

（2）對任意兩個隨機變數X1和X2，有E（X1+X2）=E（X1）+E（X2）；如果X1和X2獨立，則有Var（X1土X2）=Var（X1）+Var（X2）。

四、常用的離散分佈

常用的離散分佈有：

●0-1分佈（0-1分佈）。

●二項分佈（二項分佈）。

●執行下列操作吳成祖（魚的分佈）。

●超幾何分佈（超幾何分佈）。

1. 0-1分佈

當每次試驗中，只有兩種可能的結果，例如正面朝上與背面朝上，產品合格與不合格，檢驗透過與不透過，目標命中與不命中，具備某特性與不具備某特性等，或是隻關注試驗的兩種不同結果，例如手機月話費是否高於100元，布匹疵點數是否多於5個等，可以將這兩種結果稱為成功與失敗。若成功的機率為p，則失敗的機率為1-p，設隨機變數X表示“試驗的結果”，則X服從兩點分佈。若把成功記為1，失敗記為0，則稱X服從0-1分佈，記為X~B（1，p）。