「數學科普」人類對數認識的幾個階段（彭彤彬）

［數學科普］人類對數認識的幾個階段（彭彤彬）

人類生存在自然世界中，就產生了對自然世界的印象和認識，人類為了更好的利用自然世界，而產生了對自然世界深入瞭解的渴望，而對自然世界有了一定認識後，便主動地對自然世界加以探討和研究，以便對自然世界有更深刻的認識和掌握，以達到更好地更容易地利用它來為自身服務，以滿足人類的希求，創造美好幸福的生活。

人類對數的認識，是人類走近自然世界，開啟自然世界奧秘的一個簡單重要的視窗，數的形成出現，架起了人與自然世界之間的一座引橋，人在認識自然世界中，反過來又深刻了解了數的概念和特徵。

人們在認識數的過程中，截止現在，有下列幾個重要的認識階段：

①確定的準確的數

②確定的近似的數

③確定的變化的數

④不同確定數變數之間的關係

⑤隨機數

⑥不同的隨機變數間的關係

以下對人類認識數的歷程，在不同階段的具體情況作一介紹，並介紹一下不同數的概念，以完善人們對數的認識和把握，加深對數的內涵掌握。

最開始，智人初期，人們看到自然世界中物體是零散出現的，有的多有的少，為了計數這些零散物體的個數，便初步形成了有正整數個和沒有為零個，就出現了0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，…。

在生產分配中常出現了不夠分或有多餘現象。如三人打了一頭野豬，只能分三堆，每人一堆，又如10棵果樹，3人去摘，每人摘幾棵樹的果？只能每個人先摘三棵樹上的果，再一起去摘最後一棵樹。實際中好操作，但記錄時怎麼辦呢？計算中又怎麼辦？

由上諸多事例，人類後來形成了分數。如三分之一（即1/3），三分之十（即10/3，也寫成三又三分之一即3+1/3）。類似地任一正整數m除以一個大於等於2的正整數n，能除盡時其商為整數，不能除盡時其商為分數。分子分母中有公約數時可以約去，分數值不變。用約分法可化簡分數。一般地定義m/n（其中m，n為正整數，n≥2，m，n互質）稱為分數。當然它為正分數。

正整數和正分數合在一起稱為正有理數。

人們在交往交流中，常會有多餘物品可以借給他人或外賣，也常會出現欠缺物品，需要去向別人借或購買。這樣物品就有進出之分，既使個數相等，也不能用同一個數來記錄和計算，一個數是區分不了它的進出屬性的。

同樣，上山100米與下山100米，栽種10株樹與砍掉10棵樹，溫度升高3度與溫度降低3度，…，都不是一個數能表示的。

為了加以區分，人們引進了負數，這樣就出現了負整數，負分數，負有理數。負整數，零，正整數合稱為整數。正分數，負分數合稱為分數。負整數，負分數合稱為負有理數。正、負有理數與零合稱有理數。

以上都是確定的準確的數。屬於第①條的內容。

後來人們在度量線段長度中，發現有的線段長不是有理數。如腰長為1的等腰直角三角形的斜邊長為二次根號2。又如兩直角邊長分別為1、2的直角三角形斜邊長為二次根號5。又如半徑為1的半圓周長為圓周率π。

它們都是確定的數，但它們不是有理數。人們稱它們為正無理數。由延長√2與截去√2的意義不同，人們引進了負無理數，就出現了±√2。正、負無理數合稱無理數。有理數與無理數合稱實數。實數可解決所有線段長度度量和有關計算的實際問題。

後來人們研究發現，有理數是有限小數或無限迴圈小數，而無理數是無窮不迴圈小數，這些無窮不迴圈小數，人們只能藉助符號來表示它們，整用小數形式將它們寫出來，那是不可能的。在計算中，它們與有理數的加乘計算中只能用近似值（有限小數即為有理數）來代替。

實際上，人們在現實測量長度時，由於工具和人觀察的因素影響，測量到的數，都是長度值的近似值。現代，科學技術高度發展的前提下，人們更認識到，一根木棍的實際長度是測不準的，即其長度值是不定的，人們基於實用，只需要相應精度的近似值就可以了。

無理數的精確值是理論中存在的，是理想的數。在實際生活生產和科技實驗中只能用其近似值。

這就是確定的近似的數，屬於第②條。

一方面，人們對數的認識越來越多越來越深。另一方面，人們發現現實中存在大量的量，它們產生的數值是不斷變化的。如人們去上街或去田裡幹活，人所走的路程是不斷變化的，人走路的速度是不斷變化的，人的年齡是不斷變化的，一棵樹的高度和粗細是不斷變化的，一件衣物的新舊程度是不斷變化的，一棵白菜它的新鮮度是不斷變化的，一條死魚的腐臭度是不斷變化的，人的飯量是變化的，人的飢餓度是變化的，人的體重，身高都是變化的，一畝田的產量是不斷變化的，…。

世界是物質的，物質是運動變化的，萬事萬物都在各方面顯示出不同的變化。

人們為了表示這些確定的變化的量，引進了不同的字母，最後形成了代數式及其運算的理論。

這就是第③部分內容：確定的變化的數。

在現實中，會出現不同確定數變數，它們之間可能毫無關係，如天南地北的獨立的兩個人在同一天走的路程，毫無關係，又如一個人的肺活量與一條牛的食量。也可能有一部分關係，如某車某天消耗的油量與它跑的路程之間的關係較強，但也與城區環境，城郊環境，還是山區環境有關聯，也與人的操作熟練程度和好壞習慣有關係。也可能一個由另一個來決定，如高度和質量決定這個物體的勢能，如路程與速度關係，如兩物體質量和它們相距的距離決定它們之間的引力大小，等。

這就涉及到函式關係，其模型為一次型，二次型，反比例型，對數型，指數型，三角型，…，當然包括混合模型。

一個量可是另一個量的函式，也可以是另外多個量的函式，這就有了一元函式和多元函式。

這是第④部分內容。

隨著人們對世界的認識提高和加深，人們對世界中各事物及現象進行了廣泛的觀察思考和研究，人們發現了另一類數一一隨機數。

比如你在一塊木板的兩邊分別寫上1和2，然後閉上眼睛將木板向外扔出去，然後看木板落地後朝上的那面上的數是什麼？扔一次這個數是什麼？扔二次，扔三次，…，扔十次，…，一直扔下去呢？

比如你將六個相同的乒乓球，每個上面，分別寫上1，2，3，4，5，6，然後裝入一個布袋，將它們攪亂，然後伸手進入口袋摸出一個，看其上寫的什麼數，這樣進行一次，二次，三次，…，一直下去呢？若六個乒乓球上，兩個上寫1，三個上寫2，一個上寫3，摸出一個，其上寫的數字呢？

比如你當學生時，在進行的數學測試中，各次考的分數是多少？

比如你開車走100公里，耗了多少升汽油？比如你一頓吃飯用了多少大米？喝一次茶用了多少水？食油自動灌裝線上每瓶灌裝食油的數量，一個電視機的使用壽命，比如說某地某天中降雨的機率多少？降水量多少？……

這些數量，都是我們事先不可預測的，但一旦實驗結束形成事實後又是確定的數，這些數與站在面前有多少個人，你放的羊群中有多少頭羊，一個直角三角形的三邊長度值、面積值是不一樣的。這類數量是具有全新特性的數，我們把它們稱為隨機數。

隨機數，就是事先不知道是個什麼數，但事情發生後，可以觀測出是一個確定的數，相同的實驗有不同的結果，重複試驗時，也不知道會出現那種結果，有的結果會出現多，有的結果會出現的少，又有可能出現的機率相當。

這就是第⑤部分內容：隨機數。

在現實中，會出現不同的隨機變數，它們之間可能毫無關係，也可能有一部分關係。這就涉及到隨機變數獨立性與相關性的判定（有相關係數），相關時就涉及到隨機變數的相關模型（一次型，二次型，反比例型，對數型，指數型，三角型，…，當然包括混合模型）。

這是第⑥部分內容。

不同的數，有不同的處理方式和變數，不同的變數，或無關係（相對獨立），或有部分關係（相關關係），或有絕對關係（決定關係即函式關係）。

這樣對數量的認識才全面，有了這個基礎，就可進一步去深入學習相關的學科理論，進而去探討未知，形成新理論。