物理中的幾何之美——等時曲線，一個反直覺的猜想，了不起的發現

等時曲線是由荷蘭物理學家、數學家、天文學家和發明家克里斯蒂安·惠更斯（Christiaan Huygens）發現的。它是指物體在均勻重力場中（無摩擦）滑動到最低點所花費的時間與其起始點無關的曲線。

圖1：惠更斯和他的書《鐘擺論》的首頁

擺線

他的幾何學證明上面描述的曲線是一個倒擺線（見下面的定義）發表在他1673年出版的《擺鐘論》一書中。《鐘擺論》被認為是17世紀最偉大的三部力學作品之一，另外兩部著作分別是伽利略的《關於兩門新科學的論述和數學論證》和艾薩克·牛頓的《自然哲學數學原理》。

根據定義，擺線是圓沿直線滾動時點所描出的曲線。如圖2所示的紅色曲線。

圖2：擺線是圓上的一點沿直線滾動所描出的曲線

有趣的是，赫爾曼·梅爾維爾（Herman Melville）的著作《白鯨記》（Moby Dick， 1851）中提到了擺線的這一特性：

（試驗檯）也是一個進行深刻數學思考的地方。正是在“裴廓德號”的左手邊，當皂石在我周圍不停地轉著的時候，我首先間接地注意到這樣一個驚人的事實，那就是，在幾何學上，一切物體都是沿著擺線滑行的，譬如說，我的皂石，就會在同一時刻，從任何一點落下來。

圖3：擺線在美國作家赫爾曼·梅爾維爾（Herman Melville） 1851年的著作《白鯨記》中提到。

計算時間

現在我們將用基本的微積分技術來證明等時曲線是一個擺線。在惠更斯的證明之後，其他許多著名的數學家（包括拉格朗日和尼爾斯·亨裡克·阿貝爾）用不同的方法證明了這個猜想。

圖4：牛頓使用“牛頓擺”展示了能量守恆和動量守恆。

假設球從靜止狀態釋放。能量守恆定律給出：

式1：總能量守恆

K和T分別為球的動能和勢能。很快就會看到，在O，A，C處釋放的球會同時到達B。

圖5

利用勾股定理：

式2：線元素。

分離時間變數，則等式1的右側為：

式3：球從O點到點（x， y）所需要的時間。

τ為球從O到（x，y）所花費的時間。代入下式4（擺線的引數表示）：

式4：擺線的引數方程。

然後消掉（1-cos θ）因子，透過簡單的積分得到：

式5：球沿擺線以與θ角相對應的弧線滑動的時間

現在，我們需要證明τ獨立於θ。為了做到這一點，我們使用下面的基本運動學方程：

式6：ds/dt與垂直座標y和y_0。常數y_0是球的初始靜止位置。

將θ變換為（θ-θ₀），時間間隔τ變成：

現在做替換：

我們得到了正弦函式的逆函式的積分。

圖6：四個球從不同位置開始沿著一個擺線滑動，同時到達底部（上面是時間圖）。

我們最終的結果是：

式7：球沿擺線向下滑動所需的時間與它的初始位置無關。

因此，我們如預期的那樣，確認球沿擺線滑動所需的時間是恆定的，與它的初始位置無關（見圖6）。

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