什麼是浮點數？
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在上一篇文章中，我們主要介紹了在計算機中使用定點數表示數字的方式。
簡單回顧一下，簡單來說，用定點數表示數字時，會約定小數點的位置固定不變，整數部分和小數部分分別轉換為二進位制，就是定點數的結果。
但用定點數表示小數時，存在數值範圍、精度範圍有限的缺點，所以在計算機中，我們一般使用「浮點數」來表示小數。
這篇文章，我們就來詳細看一下浮點數到底是如何表示小數的，以及浮點數的的範圍和精度有多大。
什麼是浮點數？
首先，我們需要理解什麼是浮點數？
之前我們學習了定點數，其中「定點」指的是約定小數點位置固定不變。那浮點數的「浮點」就是指，其小數點的位置是可以是
漂浮不定
的。
這怎麼理解呢？
其實，浮點數是採用科學計數法的方式來表示的，例如十進位制小數 8。345，用科學計數法表示，可以有多種方式：
8。345 = 8。345 * 10^08。345 = 83。45 * 10^-18。345 = 834。5 * 10^-2。。。
看到了嗎？用這種科學計數法的方式表示小數時，小數點的位置就變得「漂浮不定」了，這就是相對於定點數，浮點數名字的由來。
使用同樣的規則，對於二進位制數，我們也可以用科學計數法表示，也就是說把基數 10 換成 2 即可。
浮點數如何表示數字？
我們已經知道，浮點數是採用科學計數法來表示一個數字的，它的格式可以寫成這樣：
V = （-1）^S * M * R^E
其中各個變數的含義如下：
S：符號位，取值 0 或 1，決定一個數字的符號，0 表示正，1 表示負
M：尾數，用小數表示，例如前面所看到的 8。345 * 10^0，8。345 就是尾數
R：基數，表示十進位制數 R 就是 10，表示二進位制數 R 就是 2
E：指數，用整數表示，例如前面看到的 10^-1，-1 即是指數
如果我們要在計算機中，用浮點數表示一個數字，只需要確認這幾個變數即可。
假設現在我們用 32 bit 表示一個浮點數，把以上變數按照一定規則，填充到這些 bit 上就可以了：
假設我們定義如下規則來填充這些 bit：
符號位 S 佔 1 bit
指數 E 佔 10 bit
尾數 M 佔 21 bit
按照這個規則，將十進位制數 25。125 轉換為浮點數，轉換過程就是這樣的（D代表十進位制，B代表二進位制）：
整數部分：25（D） = 11001（B）
小數部分：0。125（D） = 0。001（B）
用二進位制科學計數法表示：25。125（D） = 11001。001（B） = 1。1001001 * 2^4（B）
所以符號位 S = 0，尾數 M = 1。001001（B），指數 E = 4（D） = 100（B）。
按照上面定義的規則，填充到 32 bit 上，就是這樣：
浮點數的結果就出來了，是不是很簡單？
但這裡有個問題，我們剛才定義的規則，符號位 S 佔 1 bit，指數位 E 佔 10 bit，尾數 M 佔 21 bit，這個規則是我們拍腦袋隨便定義出來的。
如果你也想定一個新規則，例如符號位 S 佔 1 bit，指數位 E 這次佔 5 bit，尾數 M 佔 25 bit，是否也可以？當然可以。
按這個規則來，那浮點數表示出來就是這樣：
我們可以看到，指數和尾數分配的位數不同，會產生以下情況：
指數位越多，尾數位則越少，其表示的範圍越大，但精度就會變差，反之，指數位越少，尾數位則越多，表示的範圍越小，但精度就會變好
一個數字的浮點數格式，會因為定義的規則不同，得到的結果也不同，表示的範圍和精度也有差異
早期人們提出浮點數定義時，就是這樣的情況，當時有很多計算機廠商，例如IBM、微軟等，每個計算機廠商會定義自己的浮點數規則，不同廠商對同一個數表示出的浮點數是不一樣的。
這就會導致，一個程式在不同廠商下的計算機中做浮點數運算時，需要先轉換成這個廠商規定的浮點數格式，才能再計算，這也必然加重了計算的成本。
那怎麼解決這個問題呢？業界迫切需要一個統一的浮點數標準。
浮點數標準
直到1985年，IEEE 組織推出了浮點數標準，就是我們經常聽到的
IEEE754 浮點數標準
，這個標準統一了浮點數的表示形式，並提供了 2 種浮點格式：
單精度浮點數 float：32 位，符號位 S 佔 1 bit，指數 E 佔 8 bit，尾數 M 佔 23 bit
雙精度浮點數 float：64 位，符號位 S 佔 1 bit，指數 E 佔 11 bit，尾數 M 佔 52 bit
為了使其表示的數字範圍、精度最大化，浮點數標準還對指數和尾數進行了規定：
尾數 M 的第一位總是 1（因為 1 <= M < 2），因此這個 1 可以省略不寫，它是個
隱藏位
，這樣單精度 23 位尾數可以表示了 24 位有效數字，雙精度 52 位尾數可以表示 53 位有效數字
指數 E 是個無符號整數，表示 float 時，一共佔 8 bit，所以它的取值範圍為 0 ~ 255。但因為指數可以是負的，所以規定在存入 E
時
在它原本的值加上一個
中間數
127，這樣 E 的取值範圍為 -127 ~ 128。表示 double 時，一共佔 11 bit，存入 E
時
加上中間數 1023，這樣取值範圍為 -1023 ~ 1024。
除了規定尾數和指數位，還做了以下規定：
指數 E 非全 0 且非全 1：規格化數字，按上面的規則正常計算
指數 E 全 0，尾數非 0：非規格化數，尾數隱藏位不再是 1，而是 0（M = 0。xxxxx），這樣可以表示 0 和很小的數
指數 E 全 1，尾數全 0：正無窮大/負無窮大（正負取決於 S 符號位）
指數 E 全 1，尾數非 0：NaN（Not a Number）
標準浮點數的表示
有了這個統一的浮點數標準，我們再把 25。125 轉換為標準的 float 浮點數：
整數部分：25（D） = 11001（B）
小數部分：0。125（D） = 0。001（B）
用二進位制科學計數法表示：25。125（D） = 11001。001（B） = 1。1001001 * 2^4（B）
所以 S = 0，尾數 M = 1。001001 = 001001（去掉1，隱藏位），指數 E = 4 + 127（中間數） = 135（D） = 10000111（B）。填充到 32 bit 中，如下：
這就是標準 32 位浮點數的結果。
如果用 double 表示，和這個規則類似，指數位 E 用 11 bit 填充，尾數位 M 用 52 bit 填充即可。
浮點數為什麼有精度損失？
我們再來看一下，平時經常聽到的浮點數會有精度損失的情況是怎麼回事？
如果我們現在想用浮點數表示 0。2，它的結果會是多少呢？
0。2 轉換為二進位制數的過程為，不斷乘以 2，直到不存在小數為止，在這個計算過程中，得到的整數部分從上到下排列就是二進位制的結果。
0。2 * 2 = 0。4 -> 00。4 * 2 = 0。8 -> 00。8 * 2 = 1。6 -> 10。6 * 2 = 1。2 -> 10。2 * 2 = 0。4 -> 0（發生迴圈）。。。
所以 0。2（D） = 0。00110。。。（B）。
因為十進位制的 0。2 無法精確轉換成二進位制小數，而計算機在表示一個數字時，寬度是有限的，無限迴圈的小數儲存在計算機時，只能被截斷，所以就會導致小數精度發生損失的情況。
浮點數的範圍和精度有多大？
最後，我們再來看一下，用浮點數表示一個數字，其範圍和精度能有多大？
以單精度浮點數 float 為例，它能表示的最大二進位制數為 +1。1。11111。。。1 * 2^127（小數點後23個1），而二進位制 1。11111。。。1 ≈ 2，所以 float 能表示的最大數為 2^128 = 3。4 * 10^38，即 float 的表示範圍為：-3。4 * 10^38 ~ 3。4 * 10 ^38。
它能表示的精度有多小呢？
float 能表示的最小二進位制數為 0。0000。。。。1（小數點後22個0，1個1），用十進位制數表示就是 1/2^23。
用同樣的方法可以算出，double 能表示的最大二進位制數為 +1。111。。。111（小數點後52個1） * 2^1023 ≈ 2^1024 = 1。79 * 10^308，所以 double 能表示範圍為：-1。79 * 10^308 ~ +1。79 * 10^308。
double 的最小精度為：0。0000。。。1（51個0，1個1），用十進位制表示就是 1/2^52。
從這裡可以看出，雖然浮點數的範圍和精度也有限，但其範圍和精度都已非常之大，所以在計算機中，對於小數的表示我們通常會使用浮點數來儲存。
總結
這篇文章我們主要講了數字的浮點數表示方式，總結如下：
浮點數一般用科學計數法表示
把科學計數法中的變數，填充到固定 bit 中，即是浮點數的結果
在浮點數提出的早期，各個計算機廠商各自制定自己的浮點數規則，導致不同廠商對於同一個數字的浮點數表示各不相同，在計算時還需要先進行轉換才能進行計算
後來 IEEE 組織提出了浮點數的標準，統一了浮點數的格式，並規定了單精度浮點數 float 和雙精度浮點數 double，從此以後各個計算機廠商統一了浮點數的格式，一直延續至今
浮點數在表示小數時，由於十進位制小數在轉換為二進位制時，存在無法精確轉換的情況，而在固定 bit 的計算機中儲存時會被截斷，所以浮點數表示小數可能存在精度損失
浮點數在表示一個數字時，其範圍和精度非常大，所以我們平時使用的小數，在計算機中通常用浮點數來儲存
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