由鐵塊碰撞出來的圓周率計算方法

果殼上有一篇文章《這一切要從碰撞的滑塊和量子搜尋講起》,指出圓周率π與滑塊碰撞次數有種奇妙的關係。我今天給大家說說為什麼會有這樣的奇妙關係。

由鐵塊碰撞出來的圓周率計算方法

一、奇妙的關係

在光滑的平面上放著兩個1 kg的滑塊,在它們的左側有一面堅固且不可移動的牆。兩個滑塊一個離牆近一些,一個遠一些,而且後者正在向前者滑去。可以想象,接下來將會產生許多次碰撞。假設每次碰撞時都沒有動能損失,整個過程將像下面圖中展示的那樣:

由鐵塊碰撞出來的圓周率計算方法

右側的滑塊碰撞左側的滑塊,並將全部動量轉移給左側滑塊,左側滑塊碰到牆反彈回來,再與右側滑塊發生碰撞並將動量全部轉移過去。期間左側滑塊一共發生了3次碰撞。如果我們增大右側滑塊的質量,會發現有趣的事情:將右側滑塊質量換成100 kg,那每次碰撞時只會有一小部分動量發生轉移,將會碰撞31次;如果將右側滑塊質量換成10000kg,那整個過程將發生314次碰撞。

00:32

10000kg

不斷100倍100倍地增加右側滑塊質量,你會發現神奇的現象:總碰撞次數與π每一位的數字越來越接近。

由鐵塊碰撞出來的圓周率計算方法

二、這是真的嗎

是不是很神奇?我透過計算,驗證100kg、10000kg和1000000kg的情況,發現都與這個結論相符。驗證過程如下:

由鐵塊碰撞出來的圓周率計算方法

圖3

由鐵塊碰撞出來的圓周率計算方法

細心的你可能已經看出:上圖並不是真正的半圓,因為圖中橫座標最大值是10,而縱座標最大值是1,需要把縱座標乘以10才是真正的半圓。為了方便描述,姑且把它稱為半圓。

三、為什麼這樣

為什麼圓周率π與滑塊碰撞次數之間有這樣奇妙的關係?計算告訴你答案。

先問一個問題:根據表1中的資料,如何估算圖4半圓的上半部分(也就是四分之一個圓)的面積S?

可能你已經想到了:可以把這四分之一個圓近似看成由8(約為n的最大值的一半)個豎長條組成,每個豎條的寬是相鄰兩點間的橫座標距離,也就是相鄰兩次碰撞後滑塊a的速度差,高是這兩點縱座標的平均值,也就是相鄰兩次碰撞後滑塊b的平均速度。將這8個豎條的面積之和當作S的近似值,雖然與真實值存在偏差,但透過增加圓上點的數量,也就是增加碰撞數量,從而增加豎條數量,可以減小偏差。

由鐵塊碰撞出來的圓周率計算方法