冪函式是奇函式嗎？是增函式嗎？所有冪函式具有的性質都在這！
所有的冪函式均過定點
所謂的冪函式就是形如y=x^a，其中x是變數，a是常數的函式。
所有的冪函式均過定點（1，1）。
證明：將x=1代入y=x^a中，無論a為何值時y均為1，所以所有的冪函式均過定點（1，1）。
例如：y=x，y=x^2，y=x^3，y=x^（1/2）等都過定點（1，1）。
冪函式的奇偶性
⑴當冪函式的
冪指數a是奇數時，
冪指數y=x^a是
奇函式
。
證明：設f（x）=x^a，x∈R
f（-x）=（-x）^a，因為a是奇數，所以（-x）^a=-x^a
所以f（-x）=-f（x），所以冪函式y=x^a此時是奇函式。
⑵當冪函式的
冪指數a是偶數時，
冪函式y=x^a為
偶函式
。
證明：依然設f（x）=x^a，x∈R
f（-x）=（-x）^a，因為a是偶數，所以（-x）^a=x^a
所以f（-x）=f（x），所以冪指數y=x^a此時是偶函式。
⑶當冪函式的
冪指數a是分數且分母是奇數時
，冪函式y=x^a是
奇函式
。
同理可證：設f（x）=x^a，x∈R
f（-x）=（-x）^a，因為a分母是奇數，所以（-x）^a=-x^a
所以f（-x）=-f（x），所以冪函式y=x^a在a是分數且分母是奇數時是奇函式。
⑷當冪函式的
冪指數a是分數且分母是偶數時
，冪函式y=x^a是
非奇非偶函式
。
當冪指數為分數且分母是偶數時說明該冪指數要開偶次方根，所以x取值範圍是（0，＋∞），所以此時的冪函式的定義域並不關於原點對稱，即冪函式y=x^a此時是非奇非偶函式。
冪函式的增減性
㈠冪函式的定義域在（0，+∞）上時，冪函式的增減性。
⑴
當冪指數a>0時，冪函式y=x^a是增函式
。
①當x∈（0，1）時，設0 根據指數函式的影象 底數在(0,1)上時 的性質可知，指數相同，底數大的則大。注：這塊的內容在前面講的《指數函式底數在不同情況下比較大小關係的彙總》中有詳細的介紹。 指數函式底數在不同情況下比較大小關係的彙總 所以（x1）^a<（x2）^a，所以冪函式y=x^a此時是增函式 ②當x∈（0，＋∞）時，設1 依然根據指數函式影象 底數在(1,+∞)上時 的性質可知，指數相同，底數大的則大。 所以有（x1）^a<（x2）^a，所以冪函式y=x^a此時是增函式。 綜合所述，當冪指數a>0時，冪函式y=x^a是增函式。 ⑵ 當冪指數a<0時，冪函式 y=x^a是減函式。 當a<0時，冪函式y=x^a變形為y=1/x^（-a） 設t=x^（-a），冪函式t在定義域（0，＋∞）是增函式，所以此時的冪函式y=x^a是減函式。 ㈡冪函式的定義域在(-∞,0)時，冪函式的增減性 。 ⑴ 當a>0且是奇數時，冪函式y=x^a是增函式 。 當a是奇數時，冪函式y=x^a是奇函式，所以冪函式的影象關於原點對稱，又因為a>0時冪函式的定義域在（0，+∞）上是增函式，所以根據對稱的原則，所以冪指數a>0且是奇數時，冪函式的在定義域在（-∞，0）時，冪函式也是增函式。 ⑵ 當a>0且是偶數時，冪函式y=x^a是減函式 。 當a是偶數時，冪函式y=x^a是偶函式，所以冪函式的影象關於y軸對稱，又因為當a>0時的冪函式的定義域在（0，+∞）上是增函式，所以定義域在（-∞，0）時，冪指數大於0時的冪函式y=x^a是減函式。 ⑶ 當a<0且是奇數時，冪函式y=x^a是減函式 。 當冪指數a是奇數時，冪函式y=x^a是奇函式，所以該冪函式的影象關於原點對稱，又因為冪指數小於0時的冪函式的定義域在（0，+∞）上是減函式，所以該冪函式y=x^a在（-∞，0）上是減函式。 ⑷ 當a<0且是偶數時，冪函式y=x^a是增函式 。 當冪指數a是偶數時，冪函式y=x^a是偶函式，所以該冪函式的影象關於y軸對稱，又因為冪指數小於0時的冪函式的定義域在（0，+∞）上是減函式，所以該冪函式y=x^a在（-∞，0）是增函式。 總結 冪函式y=x^a過定點（1，1）點。 當冪指數a是奇數時，冪函式y=x^a是奇函式； 當冪指數a是偶數時，冪函式y=x^a是偶函式； 當冪指數a是分數且分母是奇數時，冪函式y=x^a是奇函式； 當冪指數a是分數且分母是偶數時，冪函式y=x^a是非奇非偶函式。 當冪函式在定義域（0，+∞）時 當a>0時，冪函式y=x^a是增函式； 當a<0時，冪函式y=x^a是減函式。 當冪函式在定義域（-∞，0）時 當a>0且是奇數時，冪指數y=x^a是增函式； 當a<0且是偶數時，冪指數y=x^a是增函式； 當a>0且是偶數時，冪函式y=x^a是減函式； 當a<0且是奇數時，冪函式y=x^a是減函式。 上述分享希望大家喜歡！
