數學筆記-同濟第七版高數(上)-第三章-微分中值定理-第六、七節

一、函式作圖步驟

（1）求出函式的定義域

（2）考察函式奇偶性、增減性

（3）求出方程f‘（x）=0的根以及使f’（x）不存在的點，列表判別函式的增減區間與極值點

（4）求出方程f‘’（x）=0的根，列表確定函式凹凸性與拐點

（5）求出函式的漸近線

（6）計算幾個點的函式值，畫出圖形

二、漸近線

1、水平漸近線

若：lim(x->

∞

)f(x)=A, 稱y=f(x)有水平漸近線y=A

2、鉛直漸近線

若：lim(x->a)f(x)=∞, 稱y=f(x)有鉛直漸近線x=a

3、斜漸近線

若：lim(x->∞)[f(x)/x]=a (≠0,∞)

lim(x->∞)[f(x)-ax]=b, 稱y=ax+b為函式的斜漸近線

例1：求y=［（x^2-3x+2）/（x^2-1）］的漸近線lim（x->∞）f（x）=1， 所以y=1為水平漸近線lim（x->-1）f（x）=∞，所以x=-1為鉛直漸近線lim（x->1）f（x）=lim（x->1）［（x-2）/（x+1）］=-1/2， x=1不是鉛直漸近線

例2：求y=（x^3-x）/（x^2-x-2）的漸近線lim（x->∞）y=∞， 所以沒有水平漸近線lim（x->-1）y=-2/3， 所以x=-1不是鉛直漸近線lim（x->2）y=∞， 所以x=2是鉛直漸近線lim（x->∞）y/x=1， lim（x->∞）（y-x）=1所以y=x+1為斜漸近線

三、弧微分

Δs是函式影象上的一段線，對應長度是點（x0，y0）到點（x0+Δx，y0+Δy）的那段曲線，在微觀情況下：（Δs）^2≈（Δy）^2+（Δx）^2

=>（ds）^2=（dx）^2+（dy）^2

=>ds=√［（dx）^2+（dy）^2］，ds稱為弧微分或者弧元素

擴充套件：

ds=√［（dx）^2+（dy）^2］

=√［1+（dy/dx）^2］dx

=√［1+f‘（x）^2］dx

即ds=√［1+f’（x）^2］dx

四、曲率

對於一段曲線，任取兩個點，作這兩點的切線，這兩條切線形成的夾角為Δα弧長為MN

現對兩個不同函式影象分別取兩點，對這兩點作切線。

因素1：若Δα相同，弧長MN不同，則

彎曲度

與兩點之間弧長成反比

因素2：若弧長相同，Δα不同，則

彎曲度

與Δα成反比

y=f（x）

弧長MN=Δs

則平均曲率k（拔）=（|Δα|/|Δs|）

函式影象彎曲度稱為曲率

（1）曲線y=f（x），則曲率k=|y‘’/（1+y‘^2）^（3/2）|

（2）曲線x=x（t），y=y（t），則曲率K=|（y’‘tx’t-x‘’ty‘t）/（x’t^2+y‘t^2）^（3/2）|

曲率半徑：ρ=1/k