邦你學|高中生物有關數學模型問題分析
生命科學是自然科學中的一個重要的分支。在高中生物課程中，它要求學生具備理科的思維方式。因此在教學中，教師應注重理科思維的培養，樹立理科意識，滲透數學建模思想。本文在此談談，在生物教學中的幾個數學建模問題。
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高中生物教學中的數學建模
數學是一門工具學科，在高中的物理與化學學科中廣泛的應用。由於高中生物學科以描述性的語言為主，學生不善於運用數學工具來解決生物學上的一些問題。這些需要教師在平時的課堂教學中給予提煉總結，並進行數學建模。所謂數學建模（Mathematical Modelling），就是把現實世界中的實際問題加以提煉，抽象為數學模型，求出模型的解，驗證模型的合理性，並用該數學模型所提供的解答來解釋現實問題，我們把數學知識的這一應用過程稱為數學建模。在生物學科教學中，構建數學模型，對理科思維培養也起到一定的作用。
2 數學建模思想在生物學中的應用
2.1 數形結合思想的應用
生物圖形與數學曲線相結合的試題是比較常見的一種題型。它能考查學生的分析、推理與綜合能力。這類試題從數形結合的角度，考查學生用數學圖形來表述生物學知識，體現理科思維的邏輯性。
例1：下圖1表示某種生物細胞分裂的不同時期與每條染色體DNA含量變化的關係；圖2表示處於細胞分裂不同時期的細胞影象。以下說法正確的是（ ）
A、圖2中甲細胞處於圖1中的BC段，圖2中丙細胞處於圖1中的DE段
B、圖1中CD段變化發生在減數Ⅱ後期或有絲分裂後期
C、就圖2中的甲分析可知，該細胞含有2個染色體組，秋水仙素能阻止其進一步分裂
D、圖2中的三個細胞不可能在同一種組織中出現
解析：這是一道比較典型的數形結合題型：從圖2上的染色體形態不難辨別甲為有絲分裂後期、乙為減Ⅱ後期和丙為減Ⅱ中期；而圖1中的AB段表示的是間期中的（S期）正在進行DNA複製的過程，BC段表示的是存在姐妹染色單體（含2個DNA分子）的染色體，DE 段表示的是著絲點斷裂後的只含1個DNA的染色體。此題的答案是B。
2.2 排列與組合的應用
排列與組合作為高中數學的重要知識。在減數分裂過程中，減Ⅰ分裂（中期）的同源染色體在細胞中央的不同排列方式，在細胞兩極出現不同的染色體組合，最終形成不同基因組成的配子，這是遺傳的分離定律與自由組合定律細胞學證據。同樣，遺傳資訊的傳遞與表達過程中，也涉及到鹼基的排列與密碼子的組合方式。因此，教師在教學中，從具體的例項出發，結合排列與組合知識，解決生物學上的一些疑難問題。
例2：果蠅的合子有8個染色體，其中4個來自母本（卵子），4個來自父本（精子）。當合子變為成蟲時，成蟲又產生配子（卵子或精子，視性別而定）時，在每一配子中有多少染色體是來自父本的，多少個是來自母本的？（ ）
A、4個來自父本，4個來自母本
B、卵子中4個來自母本，精子中4個來自父本
C、1個來自一個親本，3個來自另一親本
D、0、1、2、3或4個來自母本，4、3、2、1或0來自父本（共有5種可能）
解析：染色體在形成配子時完全是獨立分配的，因為在同源染色體發生聯會後，二價體在赤道板上的排列方位是完全隨機的，因此每個配子所得到的4個染色體也是完全隨機的。每個配幹所得到的一套染色體有可能是五種組合中的一種，實際上每種組合又會有不同的情況。如將這4對染色體分別命名為 m1（母源來的第一染色體）以及 m2、m3、m4和p1（父源來的第一染色體）、p2、p3和p4。那麼上述情況下，配子有可能是：m1 m2 m3 m 4；m1 p2 p3 p4；m2 p1 p3 p4；m3 p1 p2 p4 ……p1 p2 p3 p4。因此，當我們不僅考慮數量，而且也考慮到質量時，4對染色體的配子組合數應為24=16。在只考慮數量時，此題答案為D。
2.3 數學歸納法的應用
在平時的教學中，教師要善於從已有的知識過渡到新知識，詮釋新知識與已有知識的內在聯絡與區別，以利於學生進行同化學習。教師透過對一些例項分析、協助學生歸納出一般的規律並構建數學模型。學生透過上位學習，把數學中的相關知識融入到生物學科中來，做到舉一反三。然後透過運用新規律，進一步檢驗、鞏固新知識，並實現知識的正遷移。
例3：若讓某雜合子連續自交，能表示自交代數和純合子比例關係是（ ）
解析：假設此雜合子的基因型為Aa、採用數學歸納法對雜合子自交的後代機率進行推算（一般學生都會）。自交第一代的雜合子機率為1/2，純合子的機率為1/2（顯、隱性純合子），自交第二代的雜合子機率為（1/2）2……自交第N代的雜合子機率為（1/2）N，而純合子則為1-（1/2）N，然後再構建數學曲線模型。本題答案為D。
2. 4 機率的計算
高中生物的遺傳機率的計算是教學的難點，教師透過對具體例項的解析，協助學生構建機率相加與相乘原理。比如：分類用機率相加原理；分步用機率相乘原理。
例4：A a B b×A a B B相交子代中基因型a a B B所佔比例的計算。
解析：因為A a×A a相交子代中a a基因型個體佔1/4，B b×B B相交子代中B B基因型個體佔1/2，所以a a B B基因型個體佔所有子代的1/4×1/2=1/8。［由機率分步相乘原理，可知子代個別基因型所佔比例等於該個別基因型中各對基因型出現機率的乘積］。
2. 5 生態系統的數學模型
生態學的一般規律中，常常求助於數學模型的研究，理論生態學中涉及到大量的數學模型構建的問題。在高中生物學中有種群的動態模型研究，如：“J”與“S”型曲線；另外，種間競爭及捕食的數學模型等等。
例5：在實驗室中進行了兩類細菌競爭食物的實驗。在兩類細菌的混合培養液中測定了第Ⅰ類細菌後一代（即Zt+1）所佔總數的百分數與前一代（即 Zt）所佔百分數之間的關係。在下圖中，實線表示觀測到的Zt+1和Zt之間的關係，虛線表示Zt+1=Zt時的情況。從長遠看，第Ⅰ類和第Ⅱ類細菌將會發生什麼情況？（ ）
A、第Ⅰ類細菌與第Ⅱ類細菌共存
B、兩類細菌共同增長
C、第Ⅰ類細菌把第Ⅱ類細菌從混合培養液中排除掉
D、第Ⅱ類細菌把第Ⅰ類細菌從混合培養液中排除掉
解析：兩類細菌在實驗條件下，同一環境中不存在其他生物因素的作用時，競爭的結果是一種生物生存下來，另一種被淘汰現象。從上述圖形的對角線 （虛線）上可以看出在虛線上任取一點作橫座標與縱座標得到的是相同的資料，這說明了同種細菌後一代與前一代在混合培養液中的比例沒有變化，說明它們之間是共存的，不是競爭關係。而實線位於虛線下方，用同樣的方法不難得出，第Ⅰ類細菌的後一代含量比前一代含量減少了，在競爭中是劣勢的種群。本題答案為D。
2.6 生物作圖及曲線分析
生物作圖在近些年的高考試題中經常出現，對能力要求比較高，要求學生會從數形中提煉出有用的資訊。教師在平時的教學中，可以結合生物學知識解決一些難以理解的、比較抽象的圖形和曲線。
例6：有一種酶催化反應P+Q→R，右圖中的實線表示沒有酶時此反應的程序。在t1時，將催化此反應的酶加入反應混合物中。右圖中的哪條線能表示此反應的真實程序（圖中［P］、［Q］和［R］分別代表化合物P、Q和R的濃度）？（ ）
A、Ⅰ B、Ⅱ C、Ⅲ D、Ⅳ E、Ⅴ
解析：A、B和D都不對。酶作為催化劑不能改變化學反應的平衡點即平衡常數（Keq=［R］ /［P］［Q］），只能縮短達到平衡的時間。圖中實線平行於橫座標的線段延長相交於縱座標的那個交點即為此反應的Keq。Ⅰ，Ⅱ和Ⅳ三條線顯然都改變了此平衡點。C正確：線Ⅲ反映了加酶後縮短了達到平衡點的時間而不改變原反應的平衡點。E不對：曲線Ⅴ從t1至平衡前的線段不符合加酶後的真實程序。
3 生物教學中數學建模的意義
高中生物學科中涉及到的數學建模遠不及這些，限於篇輻，本文在此只作簡要的歸納。我們知道，實際問題是複雜多變的，數學建模需要學生具有一定的探索性和創造性。在教學過程中，充分的運用它能很好的解決一些生物學實際問題，使學生對生物學產生更大的興趣。生命科學作為一門自然科學，其理論的深入研究必定會涉及到很多數學的問題。在生物學教學中，構建數學模型正是聯絡數學與生命科學的橋樑。如何將生物學理論知識轉化為數學模型，這是對學生創造性地解決問題的能力的檢驗，也是理科教育的重要任務。
