117思維模型：冪律分佈一強者恆強 弱者愈弱
最強者聯合弱者節制強者的制度是什麼
財富雜誌釋出了2021年美國500強公司排行榜，其中蘋果公司營收2745億美元，利潤卻達到574億美元之巨，成為榜單中利潤第一名。儘管其在智慧手機市場中的份額佔比僅有13%左右，但它卻拿走了全部市場的60%利潤，剩下所有的手機公司只能瓜分剩下的40%，為什麼在經濟系統中會出現強者恆強，弱者愈弱的現象？社會中會出現了富者越富，窮者越窮的現象呢？按照馬克思的理論解釋，可能是因為資本主義的缺陷造成的。其實背後隱藏著一個巨大的數學定律“冪次法則”。
Peter Thiel《從0到1》一書中寫到：“冪次法則是宇宙的力量，是宇宙最強大的力量。它完整定義了我們周圍的環境，而我們幾乎毫無察覺。”
《新約。馬太福音》一書中提到：“凡是少的，就連他所有的，也要奪過來。凡是多的，還要給他，叫他多多益善。” 這就是著名的馬太效應。
機率論給我們的啟示是：“
凡是相信大數定律的，凡是相信熱力學第一定律的，就不要去賭博，不要去炒股，不要去買彩票，不要去進行任何投機，而應該去開賭場
。”
可見冪律對社會和經濟的影響極大，那什麼是冪律分佈？冪律分佈的原因是什麼？冪律分佈有哪些應用？本文對以上問題進行探討。
一、什麼是冪律分佈？
在統計學中，冪律power law表示的是兩個量之間的函式關係，其中一個量的相對變化會導致另一個量的相應冪次比例的變化，且與初值無關：表現為一個量是另一個量的
冪次方
。例如，正方形面積與邊長的關係，如果長度擴大到兩倍，那麼面積擴大到四倍。
冪函式：
y=x^a
（a為有理數）
指數函式：
y=a^x（a為常數且以a>0，a≠1）
冪律分佈：是一種機率分佈，假設變數x服從引數為α的冪律分佈，則其機率密度函式可以表示為：機率密度函式為f（x）=cx^-a-1（x
→
∞）
冪律分佈也有很多其他的形式，例如“長尾”分佈也是冪律分佈的一種。
在冪律分佈中，
事件發生的機率與事件大小的某個負指數成比例
。也就是事件越大，發生的可能性越小。因此，在冪律分佈中，小事件的數量要比大事件要多得多。大事件的可能性將冪律分佈與正態分佈區分開來，因為在正態分佈中，我們實際上從未見過大事件，而在冪律分佈中，大事件雖然也很少見，但是它們發生的頻率足以引起注意和準備。即使是百萬分之一的事件也必須加以考慮。
例如：地震大小的分佈接近於指數大約為2的冪律。如果發生了震級大於里氏9。0級的地震，不但建築物會被夷為平地，整個地形地貌都會變得面目全非。這是一個發生的可能性只有百萬分之一的大事件，在一個世紀的時間中，這種規模的地震發生的機率為3。5%。
自然界與社會生活中存在各種各樣性質迥異的冪律分佈現象。地震規模大小的分佈（古登堡—裡希特定律）、月球表面上月坑直徑的分佈、行星間碎片大小的分佈、太陽耀斑強度的分佈、計算機檔案大小的分佈、戰爭規模的分佈、人類語言中單詞頻率的分佈、大多數國家姓氏的分佈、學者撰寫的論文數及其被引用的次數的分佈、自媒體被關注的分佈、影片播放次數的分佈、每類生物中物種數的分佈等都是典型的冪律分佈。
常見的冪律分佈有
齊普夫定律、二八法則、長尾效應、馬太效應等。
1、齊普夫定律
1932年哈佛大學的語言學專家齊夫（Zipf）在研究英文單詞出現的頻率時，發現如果把單詞出現的頻率按由大到小的順序排列，則每個單詞出現的頻率與它的名次的常數次冪存在簡單的反比關係，這種分佈就稱為齊夫定律，即對於指數為2的冪律分佈（a=2），事件的等級排列序號乘以它的大小等於常數，也就是事件等級×事件大小=常數。
它表明在各種語言中，只有極少數的詞被經常使用，而絕大多數詞很少被使用。
2016年，江南大學的研究者以
諾貝爾文學獎
得主莫言的《紅高粱》《蛙》和《
透明的紅蘿蔔
》為主要研究物件，採用字頻統計軟體和漢語詞頻統計軟體，統計莫言作品中字頻、詞頻，發現都能滿足齊普夫定律。所得結果與包括英語、西班牙語、法語等在內的多種語言研究結果一致。
2、二八法則
19世紀義大利經濟學家帕雷託（VilfredoPareto）研究了個人收入的統計分佈，發現少數人的收入要遠多於大多數人的收入，提出了著名的80/20法則，即20%的人口占據了80%的社會財富。
3、長尾理論
克里斯·安德森（Chris Aderson）的“長尾理論”即是冪律的口語化表達。
安德森系統研究了亞馬遜、狂想曲公司、Blog、Google、eBay、Netflix等網際網路零售商的銷售資料，並與
沃爾瑪
等傳統零售商的銷售資料進行了對比，觀察到一種符合統計規律（
大數定律
）的現象。這種現象恰如以數量、品種二維座標上的一條需求曲線，拖著長長的尾巴，向代表“品種”的橫軸盡頭延伸，長尾由此得名。
4、馬太效應
馬太效應是社會學家和經濟學家們常用的術語，它反映著富者更富、窮者更窮，一種兩極分化的社會現象。1968年，美國科學史研究者羅伯特·莫頓（Robert K。 Merton）提出這個術語用以概括一種社會心理現象：“相對於那些不知名的研究者，聲名顯赫的科學家通常得到更多的聲望；也就是任何個體、群體或地區，在某一個方面（如金錢、名譽、地位等）獲得成功和進步，就會產生一種積累優勢，就會有更多的機會取得更大的成功和進步。”此術語後為經濟學界所借用，反映贏家通吃的經濟學中收入分配不公的現象。
統計物理學家習慣把服從冪律分佈的現象稱為無標度現象，即系統中個體的尺度相差懸殊，缺乏一個優選的規模。凡有生命、有進化、有競爭的地方都會出現不同程度的無標度現象。
二、冪律分佈的產生原因
1、優先連結模型
Barabási與Albert針對複雜網路中普遍存在的冪律分佈現象，提出了網路動態演化的BA模型，他們解釋，
成長性和優先連線性是無標度網路度分佈呈現冪律的兩個最根本的原因
。所謂成長性是指網路節點數的增加，像路由器的新增、網站或網頁的增加等，優先連線性是指新加入的節點總是優先選擇與度值較高的節點相連。
比如：新網站總是優先選擇人們經常訪問的網站作為超連結。隨著時間的演進，網路會逐漸呈現出一種“富者愈富，貧者愈貧”的現象。
不妨想象一下大學新生進入大學校園時的情景。第一個來到學校的學生建立了一個新的社團，第二個到達的學生以較小的機率建立了自己的社團，更有可能的是，他會加入第一個學生建立的社團。前10個到達的學生可能會建立3個社團：一個有7個成員，一個有兩個成員，一個有一個成員。第11個到達的學生只會以極小的機率建立第4個社團，如果不建立新的社團，她就加入現有的社團。如果這樣做，那麼她有70%的可能性加入已有7個學生的社團，有20%的可能性加入已有兩個學生的社團，只有10%的可能性加入只有一個學生的社團。
優先連線模型有助於解釋為什麼網路連結、城市規模、企業規模、圖書銷量和學術引用數量的分佈都是冪律分佈。在這些情況下，一個行動會增加其他人也這樣做的可能性。
例如：吃飯要選擇人多的飯店，買奶茶要選擇排隊長的店家，網上購物選擇銷量高的產品等。這是不是從眾效應呢？
2、自組織臨界模型
自組織臨界模型，透過在系統中建立相互依賴關係的過程產生冪律分佈，直到系統達到臨界狀態為止。許多真實的系統， 如地震、網路、金融、沙堆、火災等系統，都是自組織臨界性系統。
其中著名的有沙堆模型，假設有人將沙粒從距桌面幾十釐米的地方灑落到桌子上。隨著沙粒不斷增多，一個沙堆開始形成。最終，沙子的堆積會達到臨界狀態，此後每加一次沙子都可能導致“沙崩”。在這種臨界狀態下，多加入的沙子通常要麼沒有影響，要麼最多隻會導致一些沙子下滑。這些屬於冪律分佈中的數量眾多的小事件。但有時，只要再加入一粒沙子就會導致大規模的“沙崩”，這就是大事件。
森林火災模型（forest fire model）也是自組織臨界模型的一種。假設樹木可以在一個二維網格上生長，這些樹木也可能會隨機地被閃電擊中。當樹木的密度較低時，由閃電引發的任何火災的規模都很小，最多隻會蔓延到幾個格點。當樹木密度變得足夠高時，再被閃電擊中就會導致森林大火。
因為真實的森林火災系統是一個開放系統，存在著能量的交換：它的能量輸入就是可燃物樹木的增長，它的能量輸出就是火災。森林火災系統具有自組織臨界性系統的典型特徵：系統的能量注入是持續、緩慢而均勻的；能量耗散相對於能量注入來說是瞬時的、“雪崩式”的，但發生的次數相對比較少。具有這種性質的系統通常可以自發地演化到一個臨界狀態，最終導致大事件的發生。
三、冪律分佈的應用
冪律分佈是社會系統和自然界中的一個普遍規律，普遍應用於物理學、純數學、應用數學、經濟學、統計學、生物學、社會科學、神經科學、人工智慧等許許多多領域中，至今已經確定了成百種的冪律分佈。下面從和我們工作生活息息相關的投資、學習和創業角度進行分析。
1、投資
下面我們做一個關於財富分配的模擬實驗，你可以把這個實驗看作真實世界裡財富分配的簡化模型。具體過程是這樣的：房間裡有100人，每人都有100元，他們在玩一個遊戲，每輪遊戲每個人都要拿出1元錢隨機給到另一人。那麼請問，當這個遊戲進行了數萬輪之後，最後這100個人的財富分佈會是怎樣的呢？下圖是三個不同的答案，請你猜猜會是哪個？
假設，每個人是從18歲開始進入這個遊戲的，每天玩一次，一直玩到65歲退休。那麼從18歲一直到65歲，差不多是17 000天，所以，我們的遊戲也模擬執行17000次。
遊戲中設定的每人每次都需要拿出1元錢的行為，你可以把它看成是日常消費；而獲得1元錢的人，可以視為提供了一次服務而獲得了報酬。分配的方式設定為完全隨機是為了讓遊戲更公平，也就是每個人都可以提供同樣的服務，每次服務獲得的收入也是相同的。
然後為了簡化模型，我們在過程中也不設定負債；也就是說，如果你沒錢了，這一輪就不必再拿出1元進行分配，而是等到哪次能從別人那裡獲得了新的收入後，再繼續參與分配。我們來看看這個模擬實驗，最終結果會如何……
剛開始的時候，大家的財富都是一樣的，但是隨著時間的推移，資料開始逐漸拉開，並且越拉越大，最終財富的分配接近於情況C，也就是冪律分佈，結果如下圖：
前10%的人掌握著超過30%的財富；前20%的人掌握著超過半數的財富；最富有的人財富為417元，是初始值的4倍多…… 而超過60%的人已低於100元；超過40%的人不足50元……
這意味著什麼呢？意味著
即使在最公平的環境下，哪怕財富的分配方式完全隨機，最終的結果也會是少部分的富人掌握著社會大部分的財富
。而如果是在現實生活中，由於富人掌握的資源更多，他們的初始財富更多（富二代），他們的能力更強（透過良好的教育獲得），因此他們獲得財富的機率也會比普通人更高，所以，在現實生活中，這個數值的差距會變得更大……
這是因為時間的乘積效應，初始狀態和能力上的微弱優勢，乘以時間，就會得到價值（財富）幾何級的增長。
現實世界的財富分配比上面這個模擬更加極端。超級富豪越來越少，但他們佔有總財富的比例卻越來越大，早已突破了二八法則，按照長尾理論，應該是98法則，也就是2%的人擁有的財富等於98%的財富總和。根據國外研究報告顯示，2018年世界上最富有的26人所掌握的財富，相當於最窮的38億人（相當於全球人口的50%）的財富總和。
出現財富分配的冪律現象，不是資本主義的罪惡，而是符合天道的自然規律
。那我們如何利用這個自然規律在投資的過程中獲勝呢？
如果你是一個風險投資人，一般在公司創辦早期進行投資，風險極大，一旦專案失敗，就血本無歸，出現這樣的事件機率極高，所以不要把雞蛋放到一個籃子裡，多投幾個專案，假如
100筆投資可能大部分表現一般，還有幾十筆打水漂，但會有少數幾筆投資回報率驚人，可能會有高達幾百倍甚至上千倍的收益，足以彌補其他投資的虧損。
如果你是一名股票投資者，我們不宜採用風險投資的策略，上市往往是公司相對成熟的階段，指望個別的股票能夠帶來幾百倍的回報彌補其他的虧損很不現實。股市投資的策略最好是將資金集中在少數確定性極高的公司上，長期持有。
2、創業
我們是工作還是創業？如果你不能成為公司的高管，也不能獲得公司的股權分配，那麼一個基礎的工作，隨著時間的積累，你的收入只能獲得線性增長，你擁有的財富很難指數級增長。
例如：一名職場人士透過不斷的換工作來提升收入，透過10年時間換了5次工作，做到了部門總監，也不過年薪百萬，因為很少公司為部門總監開出1千萬的年薪。而創業就不一樣了，雖然風險比較大，但透過持續學習，可以降低創業風險，如果創業5次，一旦一次成功就可能收入千萬，同樣是10年時間，同樣是5次選擇，因為一個是正態分佈（上班收入）一個是冪律分佈（創業收入），導致了不同的結果。
據統計，更富有的人更願意選擇風險高的機會，機會的增加可以創造風險激勵，創新者經常冒險，他們往往是連續創業者，只要捕捉一隻獨角獸（市值10億美元以上的公司），不僅可以補償多次失敗的專案，還可以帶來很大的利潤。當然創業之前一定要評估一下自己的風險承受力，設定好止損線，不能讓自己血本無歸，永無翻身之日。
作為普通人，我們可以借鑑塔勒布在《反脆弱》一書中提到的“槓鈴法則”。大意是這樣的，如果你有100萬，在你面前有一個投資虛擬貨幣的專案，充滿了極高的風險，如果投資成功，可以獲得幾百上千倍的收益，如果虧了，可能血本無歸，你應該怎麼做呢？ 如果你看好這個專案，根據槓鈴法則，你應該拿出10%的錢投入，而不是全部，這樣的結果即使全部虧損，也就是10萬元，對你的生活沒什麼太大影響，而如果賺錢了，可能會帶來幾千萬的收益。
槓鈴法則給我們的啟示就是，
要把少量的錢投入到高風險高收益的專案上，並且要多投幾個，或許你會捕捉一隻正向黑天鵝。
3、學習
微軟CEO薩提亞·納德拉說：“學習是改變命運的唯一機會。”
查理芒格說：“我認識的所有成功人士，沒有一個不愛讀書，一個都沒有。我和巴菲特讀過的書，超乎你的想象。”巴菲特曾經評價查理芒格，他就是一個移動的書家。
為什麼越成功的人越願意投入時間學習呢？因為學習可以帶來正反饋。在下圖中大家可以看到，在學習和讀書上投入時間越多的人，他的認知能力就會越強，認知能力越強他認識的人就越高階。因為高階的人願意和認知能力強的人交流。這樣呢，他就越容易發現更多的商業機會，商業機會多了，自然獲得財富的機率就高了。財富多了自然就有更多的時間學習了。因為能夠享受到學習帶來的收益，所以在學習讀書的投入上就越來越多了，最終越來越成功。
例如：有很多成功的老闆，大量的時間在大學裡上課，國外的公司考察學習等，這種學習帶來的正反饋會讓他們越來越成功。
下面我們再來看一看，不學習的正反饋。不學習容易讓你跌入貧窮的陷阱。假如你學習和讀書的投入時間特別少，你的認知能力就會弱，看不清世界的本質。那你就認識不了高階人士。就越不容易發現商業機會。你經常不知道自己該幹什麼。面對生活的壓力，你只能做一些低價值的勞動，工資也很低。為了獲得更多的收入，你不得不再打一些零工、做一些兼職等。這樣學習的時間就沒有啦，認知能力就越來越弱，形成了一個惡性迴圈，跌入貧窮陷阱，永遠跑不出去。
我們來看一個公式：
成功=基因×環境×選擇×努力×運氣
其中基因和運氣不可改變，環境因素在小時候你也無法選擇，長大後你可以自由選擇自己喜歡的城市，選擇和努力是可以通過後天學習獲得的，所以要想成功，你需要選擇一個好的城市，不斷的學習提升自己的決策能力和執行能力，才能跳出貧窮陷阱，登上財富飛輪。
總結
當個體之間沒有聯絡，互不影響的時候，就呈現正態分佈
，比如人類的身高、智商；
當個體之間互相聯絡，相互影響的時候，就呈現冪律分佈
，比如社會財富分配、網路傳播效應；判斷一個系統是呈現正態分佈還是冪律分佈，可以觀察系統的實體之間有沒有產生連線，
只要有自組織存在的地方，就有冪律分佈出現。
冪次法則給我們最大的啟發是最重要的事只有極少數幾件，其他都是次要的。在工作和生活中，我們應該把90%的時間投入到極少數重大的事件中，而不是平均分配。全面均衡意味著全面平庸。
此外，冪次法則給我們的另外一個啟發是大膽地擁抱無序狀態。冪律分佈的出現通常標誌著系統從無序到有序的過渡。
從熱力學角度，隨機網路熵值高，冪律分佈網路熵值低，網路透過與外界交換物質、能量和資訊，由隨機網路熵值演化成冪律分佈網路，形成負熵和秩序，即不斷降低自身熵值，使系統從無序變得有序；
從生物學角度，擁有冪律分佈結構的細胞組織可以使生物個體在持續新陳代謝狀態下保持功能穩定；從經濟學角度，所有節點“自動尋找最短路徑”“瞬間發現最多資訊”使得大多數連線指向中心節點，這樣連線交易成本（包括時間和金錢）最低；
從心理學解釋，模仿（內部）和從眾（外部）引發的“同嗜性”和“自分類”理論”是產生冪律分佈現象的群體動力學機制；從管理學解釋，廣泛存在的科層制組織使得資訊流動天然形成了冪律分佈態勢；
從社會物理學解釋，梅特卡夫定律所描述的網路中節點數量以線性方式增加，網路價值則以指數方式增長，大型網路媒體成為的連線力加速提升的“吸引子”，強力扭曲了周圍常規連線行為，從而使相關人群優先連線它們。
參考資料：
《模型思維》
作者: 斯科特•佩奇
浙江人民出版社
《認知紅利》
作者: 謝春霖
機械工業出版社
“資訊冪律分佈”研究的歷史邏輯及其現實意義
作者：李鏨
