球面上的最優傳輸和微分幾何

曲面第一基本形式的幾何意義

微分幾何中地球最優傳輸

科學與藝術的撞擊

紐約金秋，海水澄澈，天空湛藍。午後的陽光遍灑金輝，秋風襲掠之後，始見落葉飄零。雖然秋高氣爽，心情振奮，但是寒意漸起，莫名的憂傷總是揮之不去。學期伊始，很多新生入學，朝氣蓬勃，青春洋溢。看著他們，令我不禁懷念起當年入學的情形。

圖-1 金秋

當時的清華園文藝氣息非常濃厚，經常有各種音樂會、個人演唱會。每天夜晚東大操場上都有人在演練吉他彈唱。每天下午團委和文藝社團排練室都傳來陣陣琴聲，單簧管、雙簧管、長笛等樂器混雜成厚重的織體，間或被長號、小號的高音所撕裂。

圖-2 清華園

一天傍晚，金得哲、李雪松在主樓後廳舉行演唱會，他們演唱了Simon和Garfunkel的《斯卡布羅集市》（Scarborough Fair）感人至深。歌曲旋律優美動聽，歌詞傷感婉約，吉他配器飄逸悠遠，Simon和Garfunkel的和聲渾然一體，動人心絃，堪稱民謠中的經典。

圖-3 麻省理工

後來，我和樂隊朋友郝佳良、陳皓無數次演奏過這首樂曲。郝佳良用激越嘹亮的小號吹出了醇厚柔美的感覺，陳皓單簧管的音色更是純淨無暇，令人感傷。到了博士階段，我和清華樂隊的朋友經常在麻省理工排練，曾經用高音薩克斯來演奏“Scarborough Fair”，但總覺得Soprano Saxophone華麗絢爛的音色，無法表達這首樂曲所蘊藏的悵惘和憂傷。再後來，我到紐約工作，經常到中央公園遊覽。Simon和Garfunkel曾經分道揚鑣，後於1981年複合，在中央公園舉行了一場免費音樂會。在夕陽西下、皓月初升之際，這對搭檔再次演唱了這首老歌，成為永恆。

圖-4 約克郡

“Scarborough Fair”一唱三嘆，每句歌詞之後，都要加上一句嘆惋“Parsley，Sage，Rosemary and Thyme”，翻譯過來就是“荷蘭芹、鼠尾草、迷迭香和百里香”，四種香料的名稱，這令我大惑不解。後來，我遊覽Scarborough fair的所在地，英格蘭的約克郡。和紐約（New York）相比，具有兩千年曆史的約克郡（old York）古老陰鬱，歷史文化極其厚重。這裡的惠特比修道院（Whitby Abbey）是吸血鬼的誕生地；約克大教堂（York Minister）是北歐最大的哥特式教堂，具有多層地基。歷史上羅馬人、諾曼人、維京人、盎格魯-薩克遜人曾經多次征服過這片土地，他們摧毀被征服者的教堂，在原址上重建自己的教堂。斯卡布羅集市曾經是北歐海盜維京人斂財銷贓的據點，遊吟詩人在集市上即興創作，膾炙人口的民謠流傳下來，從而啟迪了保羅西蒙和葛芬柯。

圖-5 歐洲黑熱病

我詢問當地的一位教授朋友，“荷蘭芹、鼠尾草、迷迭香和百里香”的含義。教授朋友給我解釋了一段慘痛的歷史掌故。1347年，穆斯林和熱那亞的基督徒殖民者之間爆發了戰爭。戰爭中，穆斯林軍隊爆發了黑死病。穆斯林軍將病者裝上了彈射器，投射到熱那亞城中。恐懼的熱那亞人逃回了義大利，引發了全歐洲的瘟疫。黑死病奪去了歐洲幾乎一半的人口，使得人們對教會和信仰大失所望。瘟疫中卻有一群盜徒穿行於死亡遍佈的街市，大肆偷盜。當他們被逮捕後交待了抵禦瘟疫侵襲的秘方，其中主要的成分就是荷蘭芹、鼠尾草、迷迭香和百里香。由此，歷史上留下了“四賊醋”的大名：Parsley，Sage，Rosemary and Thyme。由於瘟疫的恐怖，人們用將這一秘方廣泛傳播，演化成民謠中起興的咒語。“Scarborough Fair”的歌詞居然有如此慘烈的文化背景，民族戰爭，宗教戰爭，瘟疫黑死病，宗教改革，難怪有一種難以名狀的哀傷和悽美。數百年之後，這些歷史的傷痕被歲月撫平，慘痛的記憶被轉化成優美的旋律和典雅的歌詞。雖然人類文明提升到了古人難以想象的高度，醫療日益發達，科學日益昌明，但是宗教戰爭、全球性瘟疫的陰影依然揮之不去。

圖-5 老歐洲咖啡館

最優傳輸

老歐洲的文化傳統中，最為純粹和厚重的當屬數學。人類幾乎出於先天的本能就會欣賞音樂。對於數學的品鑑卻需要長期的專業訓練。但是從帶給人們的美學價值和精神震撼程度而言，數學更為崇高、激烈和持久。

圖-6 數學

自從法國數學家蒙日在十八世紀初葉開啟了最優傳輸理論的研究，數百年來無數的純粹數學家、應用數學家、計算機科學家、工程師都為這一理論而心醉神迷，從各個角度為這一理論的發展做出了貢獻。

純粹數學家證明了解的存在性、唯一性和正則性；應用數學家設計迭代格式，證明收斂階，誤差估計，數值穩定性；計算機科學家設計資料結構，並行演算法，提高演算法魯棒性和效率；工程師用來進行影象增強，病理分析，統計推斷，生成模型，設計光學器件等等。

由於社會分工和職業訓練，很少有人能夠透徹理解這一理論上下游的全景，只能專注於相對侷限的一部分理論或演算法。例如純粹數學家嘔心瀝血發展出來的各種先驗估計的技巧，對於絕大多數的計算機科學家而言無法直接應用，因而缺乏動力去鑽研，由此也錯過了領略深層次美感的機會。近期，由於最優傳輸理論日益成為之一，整個社會對於最優傳輸理論的學習熱情日益高漲，相信和蒙日-安培方程理論會逐漸深入人心，在工程醫療領域發揚光大。

圖-7 黎曼積分

最優傳輸對映在度量空間，特別是黎曼流形上依然存在，但是其正則性分析相對困難。球面上的最優傳輸理論比較成熟，但是目前在工程領域應用不多。相信依隨三維列印技術的成熟，球面最優傳輸理論終將大放異彩。這裡，我們討論球面最優傳輸理論的一個經典應用：由曲率來構造麴面，即凸幾何中的Weyl problem，Minkowski problem和Alexandroff problem。

圖-8 最優傳輸對映

凸幾何經典問題

由微分幾何的經典理論，三維空間中的曲面由第一基本形式（黎曼度量）和第二基本形式共同決定。黎曼度量決定了曲面的內蘊幾何，可以測量曲面上曲線的長度，曲線間的夾角，區域的面積，同時也決定了曲面的高斯曲率。第二基本形式決定了曲面的主曲率，平均曲率。但是對於凸曲面而言，僅僅黎曼度量就決定了曲面在三維空間中的嵌入。