趣談無窮級數的終結者：泰勒級數

我們學習泰勒級數目的，就是為了在某個點附近用多項式近似其他函式，這樣逼近函式的多項式要比函式本身更加有意義，既可以積分 又可以求導，還可以觀察它的的特性。

我們以cosx為例，用三項式來逼近它

首先很容易得到：x=0時，C0=1

多項式曲線在x=0處，還是可以來回搖擺，所以繼續定義在x=0處的斜率得到C1=0

雖然定義了x=0處的斜率，但是多項式曲線還可以上來活動，所以繼續定義x=0處的二階導數：

這樣在二階導數斜率為負，曲線開口朝下，這樣曲線在x=0點和cosx更加吻合

最終得到僅有三項的逼近COSx的多項式

我們可以用x=0附件的數值 例如0.1,0.2來驗證，與實際的COSX非常接近，所以是成功的

c0負責多項式在x=0時與cos0的值一致。

c1負責多項式x=0時與cos0處的導數一致（不可左右搖擺）（斜率一致）

c2負責多項式x=0時與cos0處的二階導數一致（不可上下搖擺）

這樣使得曲線在cosx附近變化時，儘可能的逼近cosx。

為了使得曲線在x更遠的地方也能逼近cosx,需要不斷增加項數，這樣就要不斷的對cosx求導。

你會發現，隨著項數的增加，增加的高次項並不會影響低次項。這點很重要，這是因為在求高次項係數的時候，前面的x都等於0

多項式任意階導數在x=0的值，都是唯一的一個係數來控制。這樣我們就得到了cosx函式的泰勒多項式。

同理最終得到任意函式在x=0時的泰勒多項式。

我們來分析他們的幾何意義

首先假設多項式f（x）代表面積

f（x）的在a處一階導數就是曲線上在a點的縱座標，f（x）的在a處二階導數就是曲線在a點的斜率，所以得到圖中的等式。這就是他的幾何意義

注意：

泰勒級數不是對所有的函式都能很好的逼近，如下Inx函式的泰勒級數，在x取值超出一定範圍後就上下亂跳，所以x的取值不能延伸更廣的範圍，必須定義它的收斂半徑。

但對e^x的泰勒級數就不存在這個問題，能很好的和e^x吻合。